Trigonométrie Exemples

$\frac{\sec (x)}{\csc (x)}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sec (y)}{\csc (y)}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$ .

$\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{\sec (y)}{\csc (y)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\csc (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sec (y)}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} = x$

Étape 2.2.1.4

Convertissez de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ à $\tan (y)$ .

$\tan (y) = x$

Étape 2.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (x)$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\frac{1}{\sin (x)}})$

Étape 4.2.4

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}})$

Étape 4.2.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.2.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\arctan (x))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\csc (\arctan (x))}$

Étape 4.3.3

Réécrivez $\csc (\arctan (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez $\sec (\arctan (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$f (\arctan (x)) = \frac{\frac{1}{\cos (\arctan (x))}}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

Étape 4.3.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (\arctan (x))}$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$

Étape 4.3.6

Convertissez de $\frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$ à $\tan (\arctan (x))$ .

$f (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Étape 4.3.7

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f (\arctan (x)) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$