Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (x - 1)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \csc^{2} (y - 1)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\csc^{2} (y - 1) = x$ .

$\csc^{2} (y - 1) = x$

Étape 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (y - 1) = \pm \sqrt{x}$

Étape 2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}$

Étape 2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$

Étape 2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

Étape 2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $y$ .

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}$

$\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$

Étape 2.5

Résolvez $y$ dans $\csc (y - 1) = \sqrt{x}$ .

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Étape 2.5.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la cosécante.

$y - 1 = arccsc (\sqrt{x})$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

Étape 2.6

Résolvez $y$ dans $\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$ .

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Étape 2.6.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la cosécante.

$y - 1 = arccsc (- \sqrt{x})$

Étape 2.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

Étape 2.7

Indiquez toutes les solutions.

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ est l’inverse de $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ et $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[1, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $arccsc (\sqrt{x}) + 1$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 4.3.2

Définissez l’argument dans $arccsc (\sqrt{x})$ inférieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{x} \leq - 1$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x \leq 1$

Étape 4.3.3.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{x} + 1$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 4.3.3.3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 4.3.3.4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 4.3.3.5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.3.3.5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.3.3.5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.3.3.5.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

Étape 4.3.3.5.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.3.5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.3.3.5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 4.3.3.5.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

Étape 4.3.3.5.2.3

Le côté gauche $0.70710678$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.3.5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.3.3.5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 4.3.3.5.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{4} \leq - 1$

Étape 4.3.3.5.3.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.3.5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Faux

Étape 4.3.3.6

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution

Étape 4.3.4

Définissez l’argument dans $arccsc (\sqrt{x})$ supérieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{x} \geq 1$

Étape 4.3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.5.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.5.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.3.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.5.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.5.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.5.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.5.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.5.2.2.1.2

Simplifiez

$x \geq 1^{2}$

Étape 4.3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.5.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x \geq 1$

Étape 4.3.5.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{x} - 1$ .

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Étape 4.3.5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 4.3.5.3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 4.3.5.4

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq 1$

Étape 4.3.6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 4.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ , $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ n’est pas un inverse de $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 5