Trigonométrie Exemples

${\cos (\frac{150}{400})}^{a}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$a = {\cos (\frac{150}{400})}^{y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme ${\cos (\frac{150}{400})}^{y} = a$ .

${\cos (\frac{150}{400})}^{y} = a$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{y}) = \ln (a)$

Étape 2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Développez $\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (\cos (\frac{150}{400})) = \ln (a)$

Étape 2.3.2

Réduisez l’expression $\frac{150}{400}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $50$ à partir de $150$ .

$y \ln (\cos (\frac{50 (3)}{400})) = \ln (a)$

Étape 2.3.2.2

Factorisez $50$ à partir de $400$ .

$y \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})) = \ln (a)$

Étape 2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$y \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})) = \ln (a)$

Étape 2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$y \ln (\cos (\frac{3}{8})) = \ln (a)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Évaluez $\cos (\frac{3}{8})$ .

$y \ln (0.93050762) = \ln (a)$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $y \ln (0.93050762) = \ln (a)$ par $\ln (0.93050762)$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (0.93050762) = \ln (a)$ par $\ln (0.93050762)$ .

$\frac{y \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)} = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (0.93050762)$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)} = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$ est l’inverse de $f (a) = {\cos (\frac{150}{400})}^{a}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (a)) = a$ et $f (f^{- 1} (a)) = a$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (a))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (a))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})}{\ln (0.93050762)}$

Étape 4.2.3

Développez $\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})$ en déplaçant $a$ hors du logarithme.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{150}{400}))}{\ln (0.93050762)}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun à $150$ et $400$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $50$ à partir de $150$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 (3)}{400}))}{\ln (0.93050762)}$

Étape 4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.2.1

Factorisez $50$ à partir de $400$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8}))}{\ln (0.93050762)}$

Étape 4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8}))}{\ln (0.93050762)}$

Étape 4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{3}{8}))}{\ln (0.93050762)}$

Étape 4.2.5

Évaluez $\cos (\frac{3}{8})$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)}$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun de $\ln (0.93050762)$ .

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Étape 4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)}$

Étape 4.2.6.2

Divisez $a$ par $1$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = a$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (a))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (a))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{150}{400})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $150$ et $400$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $50$ à partir de $150$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 (3)}{400})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $50$ à partir de $400$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{3}{8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Étape 4.3.4

Évaluez $\cos (\frac{3}{8})$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {0.93050762}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Étape 4.3.5

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {0.93050762}^{\log_{0.93050762} (a)}$

Étape 4.3.6

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = a$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (a)) = a$ et $f (f^{- 1} (a)) = a$ , $f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$ est l’inverse de $f (a) = {\cos (\frac{150}{400})}^{a}$ .

$f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$