Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{\cos (2 y)}{\sin (y)}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $\sin (y)$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 y) = x \sin (y)$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y)$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y) - 1$

Étape 2.4.3

Soustrayez $x \sin (y)$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (y) - x \sin (y) = - 1$

Étape 2.4.4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 2.4.4.1

Remplacez $\sin (y)$ par $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - x u = - 1$

Étape 2.4.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 u^{2} - x u + 1 = 0$

Étape 2.4.4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.4.4

Remplacez les valeurs $a = - 2$ , $b = - x$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.5

Simplifiez

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Étape 2.4.4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.4.5.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.5.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.5.1.4

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.4.5.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.5.1.4.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Étape 2.4.4.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Étape 2.4.4.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.4.6.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.6.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.6.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.6.1.4

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.4.6.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.6.1.4.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Étape 2.4.4.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Étape 2.4.4.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Étape 2.4.4.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.4.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.4.7.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.7.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.7.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.7.1.4

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.4.7.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.7.1.4.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.4.4.7.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Étape 2.4.4.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Étape 2.4.4.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Étape 2.4.4.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Étape 2.4.4.9

Remplacez $u$ par $\sin (y)$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}, - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Étape 2.4.4.10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $y$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Étape 2.4.4.11

Résolvez $y$ dans $\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

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Étape 2.4.4.11.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y = \arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Étape 2.4.4.11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.11.2.1

Simplifiez $\arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

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Étape 2.4.4.11.2.1.1

Divisez la fraction $\frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ en deux fractions.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Étape 2.4.4.11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Étape 2.4.4.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.11.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Étape 2.4.4.12

Résolvez $y$ dans $\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

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Étape 2.4.4.12.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y = \arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Étape 2.4.4.12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.12.2.1

Simplifiez $\arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

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Étape 2.4.4.12.2.1.1

Divisez la fraction $\frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ en deux fractions.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Étape 2.4.4.12.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Étape 2.4.4.12.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Étape 2.4.4.12.2.1.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

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Étape 2.4.4.12.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Étape 2.4.4.12.2.1.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ par $1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Étape 2.4.4.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.12.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Étape 2.4.4.13

Indiquez toutes les solutions.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ et $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Étape 4.3

Find the domain of the inverse.

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Étape 4.3.1

Déterminez le domaine de $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

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Étape 4.3.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + 8}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Étape 4.3.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq - 8$

Étape 4.3.1.2.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 4.3.1.3

Définissez l’argument dans $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ supérieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Étape 4.3.1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Étape 4.3.1.4.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.1.4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Étape 4.3.1.4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Étape 4.3.1.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1.4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Étape 4.3.1.4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1.4.3.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Étape 4.3.1.4.3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.3.1.4.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 8}$ comme ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.4.3.3.2.1

Simplifiez ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.4.3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.3.2.1.3

Multipliez ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.4.3.3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.3.2.1.5

Simplifiez

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1.4.3.3.3.1

Simplifiez ${(- 4 + x)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.1

Réécrivez ${(- 4 + x)}^{2}$ comme $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.2

Développez $(- 4 + x) (- 4 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.3.3.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Étape 4.3.1.4.3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1.4.3.4.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Étape 4.3.1.4.3.4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 4.3.1.4.3.4.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Étape 4.3.1.4.3.4.2.2

Associez les termes opposés dans $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

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Étape 4.3.1.4.3.4.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Étape 4.3.1.4.3.4.2.2.2

Additionnez $16 - 8 x$ et $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Étape 4.3.1.4.3.4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.4.3.4.3.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Étape 4.3.1.4.3.4.3.2

Soustrayez $16$ de $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Étape 4.3.1.4.3.4.4

Divisez chaque terme dans $- 8 x \leq - 8$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1.4.3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- 8 x \leq - 8$ par $- 8$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Étape 4.3.1.4.3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.4.3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.4.3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Étape 4.3.1.4.3.4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Étape 4.3.1.4.3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.4.3.4.4.3.1

Divisez $- 8$ par $- 8$ .

$x \geq 1$

Étape 4.3.1.4.4

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 1$

Étape 4.3.1.5

Définissez l’argument dans $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ inférieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Étape 4.3.1.6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.1

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Étape 4.3.1.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Étape 4.3.1.6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Étape 4.3.1.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.2.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Étape 4.3.1.6.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Étape 4.3.1.6.3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 8}$ comme ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.3.2.1

Simplifiez ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.3.2.1.3

Multipliez ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.3.2.1.5

Simplifiez

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1

Simplifiez ${(4 + x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.1

Réécrivez ${(4 + x)}^{2}$ comme $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.2

Développez $(4 + x) (4 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.3.3.1.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Étape 4.3.1.6.3.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.4.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Étape 4.3.1.6.3.4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.4.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Étape 4.3.1.6.3.4.2.2

Associez les termes opposés dans $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.4.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Étape 4.3.1.6.3.4.2.2.2

Additionnez $16 + 8 x$ et $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Étape 4.3.1.6.3.4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.4.3.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’inégalité.

$8 x \geq 8 - 16$

Étape 4.3.1.6.3.4.3.2

Soustrayez $16$ de $8$ .

$8 x \geq - 8$

Étape 4.3.1.6.3.4.4

Divisez chaque terme dans $8 x \geq - 8$ par $8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $8 x \geq - 8$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Étape 4.3.1.6.3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Étape 4.3.1.6.3.4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Étape 4.3.1.6.3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.3.4.4.3.1

Divisez $- 8$ par $8$ .

$x \geq - 1$

Étape 4.3.1.6.4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$x > - 1$

Étape 4.3.1.6.5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 4.3.1.6.5.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- (- 4) - \sqrt{{(- 4)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Étape 4.3.1.6.5.1.3

Le côté gauche $- 0.22474487$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.3.1.6.5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.3.1.6.5.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- (0) - \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Étape 4.3.1.6.5.2.3

Le côté gauche $- 0.70710678$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.3.1.6.5.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$x > - 1$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$x > - 1$ Vrai

Étape 4.3.1.6.6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1$ ou $x \geq - 1$

Étape 4.3.1.6.7

Associez les intervalles.

Tous les nombres réels

Étape 4.3.1.7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1]$

Étape 4.3.2

Déterminez le domaine de $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + 8}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Étape 4.3.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq - 8$

Étape 4.3.2.2.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 4.3.2.3

Définissez l’argument dans $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ supérieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Étape 4.3.2.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Étape 4.3.2.4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Étape 4.3.2.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Étape 4.3.2.4.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Étape 4.3.2.4.3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.4.3.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 8}$ comme ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.4.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.3.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.4.3.3.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.4.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1

Simplifiez ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.1

Réécrivez ${(- 4 + x)}^{2}$ comme $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.2

Développez $(- 4 + x) (- 4 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Étape 4.3.2.4.3.3.3.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Étape 4.3.2.4.3.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.4.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Étape 4.3.2.4.3.4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.4.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Étape 4.3.2.4.3.4.2.2

Associez les termes opposés dans $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.4.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Étape 4.3.2.4.3.4.2.2.2

Additionnez $16 - 8 x$ et $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Étape 4.3.2.4.3.4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.4.3.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Étape 4.3.2.4.3.4.3.2

Soustrayez $16$ de $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Étape 4.3.2.4.3.4.4

Divisez chaque terme dans $- 8 x \leq - 8$ par $- 8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- 8 x \leq - 8$ par $- 8$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Étape 4.3.2.4.3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Étape 4.3.2.4.3.4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Étape 4.3.2.4.3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.3.4.4.3.1

Divisez $- 8$ par $- 8$ .

$x \geq 1$

Étape 4.3.2.4.4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1$

$x > 1$

Étape 4.3.2.4.5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.3.2.4.5.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- (0) + \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Étape 4.3.2.4.5.1.3

Le côté gauche $0.70710678$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.3.2.4.5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 4.3.2.4.5.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- (4) + \sqrt{{(4)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Étape 4.3.2.4.5.2.3

Le côté gauche $0.22474487$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.3.2.4.5.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1$ Vrai

$x > 1$ Vrai

$x < 1$ Vrai

$x > 1$ Vrai

Étape 4.3.2.4.6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 1$ ou $x \geq 1$

Étape 4.3.2.4.7

Associez les intervalles.

Tous les nombres réels

Étape 4.3.2.5

Définissez l’argument dans $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ inférieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Étape 4.3.2.6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.1

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Étape 4.3.2.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Étape 4.3.2.6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Étape 4.3.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.2.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Étape 4.3.2.6.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.3.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Étape 4.3.2.6.3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.6.3.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.3.2.6.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 8}$ comme ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.3.3.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.6.3.3.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Étape 4.3.2.6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.6.3.3.3.1

Simplifiez ${(4 + x)}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.1

Réécrivez ${(4 + x)}^{2}$ comme $(4 + x) (4 + x)$ .

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.2

Développez $(4 + x) (4 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Étape 4.3.2.6.3.3.3.1.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Étape 4.3.2.6.3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.6.3.4.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Étape 4.3.2.6.3.4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 4.3.2.6.3.4.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Étape 4.3.2.6.3.4.2.2

Associez les termes opposés dans $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

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Étape 4.3.2.6.3.4.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Étape 4.3.2.6.3.4.2.2.2

Additionnez $16 + 8 x$ et $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Étape 4.3.2.6.3.4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.3.2.6.3.4.3.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’inégalité.

$8 x \geq 8 - 16$

Étape 4.3.2.6.3.4.3.2

Soustrayez $16$ de $8$ .

$8 x \geq - 8$

Étape 4.3.2.6.3.4.4

Divisez chaque terme dans $8 x \geq - 8$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.6.3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $8 x \geq - 8$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Étape 4.3.2.6.3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.6.3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.3.2.6.3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Étape 4.3.2.6.3.4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Étape 4.3.2.6.3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.6.3.4.4.3.1

Divisez $- 8$ par $8$ .

$x \geq - 1$

Étape 4.3.2.7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, \infty)$

Étape 4.3.3

Déterminez l’union de $(- \infty, 1], [- 1, \infty)$ .

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Étape 4.3.3.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ , $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ n’est pas un inverse de $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 5