Trigonométrie Exemples

$\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$ .

$\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{2 \sin (y)}{2 \sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Étape 2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (y)}{2 \sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Étape 2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (y)}{\sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Étape 2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (y)}{\sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Étape 2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Étape 2.1.1.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (y)}$ à $\sec (y)$ .

$\sec (y) + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Étape 2.1.1.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (y)}$ à $\sec (y)$ .

$\sec (y) + \sec (y) = x$

Étape 2.1.2

Additionnez $\sec (y)$ et $\sec (y)$ .

$2 \sec (y) = x$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 \sec (y) = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 \sec (y) = x$ par $2$ .

$\frac{2 \sec (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\sec (y)$ par $1$ .

$\sec (y) = \frac{x}{2}$

Étape 4

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la sécante.

$y = arcsec (\frac{x}{2})$

Étape 5

Interchangez les variables.

$x = arcsec (\frac{y}{2})$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $arcsec (\frac{y}{2}) = x$ .

$arcsec (\frac{y}{2}) = x$

Étape 6.2

Prenez l’arc sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sécante.

$\frac{y}{2} = \sec (x)$

Étape 6.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \sec (x)$

Étape 6.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 \sec (x)$

Étape 6.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \sec (x)$

Étape 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$

Étape 8

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$ est l’inverse de $f (x) = arcsec (\frac{x}{2})$ .

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Étape 8.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 8.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 8.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 8.2.2

Évaluez $f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 \sec (arcsec (\frac{x}{2}))$

Étape 8.2.3

Les fonctions sécante et arc sécante sont inverses.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 8.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = x$

Étape 8.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 8.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 8.3.2

Évaluez $f (2 \sec (x))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\frac{2 \sec (x)}{2})$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\frac{2 \sec (x)}{2})$

Étape 8.3.3.2

Divisez $\sec (x)$ par $1$ .

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\sec (x))$

Étape 8.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$ est l’inverse de $f (x) = arcsec (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$