Trigonométrie Exemples

$\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{2}{3} y - \frac{1}{2}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{3} y - \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{2}{3} y - \frac{1}{2} = x$

Étape 2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $y$ .

$\frac{2 y}{3} - \frac{1}{2} = x$

Étape 2.3

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2 y}{3} = x + \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Étape 2.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Étape 2.5.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Étape 2.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Étape 2.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Étape 2.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.1.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.5.2.1.3.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2})}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - \frac{1}{2})}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.1.2

Pour écrire $\frac{2 x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.1.3

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1

Multipliez $\frac{2 x}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3})}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{6} - \frac{3}{6})}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2 - 3}{6})}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{4 x - 3}{6})}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.2

Associez $3$ et $\frac{4 x - 3}{6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{3 (4 x - 3)}{6}}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.3

Réduisez l’expression $\frac{3 (4 x - 3)}{6}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{3 (4 x - 3)}{3 \cdot 2}}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{3 (4 x - 3)}{3 \cdot 2}}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{4 x - 3}{2}}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.5

Multipliez $\frac{4 x - 3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.2.3.5.1

Multipliez $\frac{4 x - 3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3 + 3}{4}$

Étape 4.2.4.2

Associez les termes opposés dans $4 x - 3 + 3$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Étape 4.2.4.2.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x)) + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 (2)} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1 - 1}{2}$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{0}{2}$

Étape 4.3.4.3

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + 0$

Étape 4.3.4.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$