Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $1 + \cot (y)$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Simplifiez $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + \cot (y)$ .

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Étape 2.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Étape 2.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

Étape 2.3.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Comme $\cot (- y)$ est une fonction impaire, réécrivez $\cot (- y)$ comme $- \cot (y)$ .

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Étape 2.3.1.1.2.2

Multipliez $- - \cot (y)$ .

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Étape 2.3.1.1.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Étape 2.3.1.1.2.2.2

Multipliez $\cot (y)$ par $1$ .

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $x (1 + \cot (y))$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez $\cot (y)$ par $u$ .

$1 + u = x + x (u)$

Étape 2.4.2

Soustrayez $x u$ des deux côtés de l’équation.

$1 + u - x u = x$

Étape 2.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u - x u = x - 1$

Étape 2.4.4

Factorisez $u$ à partir de $u - x u$ .

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Étape 2.4.4.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Étape 2.4.4.2

Factorisez $u$ à partir de $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Étape 2.4.4.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

Étape 2.4.5

Divisez chaque terme dans $u (1 - x) = x - 1$ par $1 - x$ et simplifiez.

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Étape 2.4.5.1

Divisez chaque terme dans $u (1 - x) = x - 1$ par $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Étape 2.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 2.4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Étape 2.4.5.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Étape 2.4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Étape 2.4.5.3.2

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et $1 - x$ .

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Étape 2.4.5.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Étape 2.4.5.3.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Étape 2.4.5.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Étape 2.4.5.3.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Étape 2.4.5.3.2.5

Annulez le facteur commun.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Étape 2.4.5.3.2.6

Divisez $- 1$ par $1$ .

$u = - 1$

Étape 2.4.6

Remplacez $u$ par $\cot (y)$ .

$\cot (y) = - 1$

Étape 2.4.7

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la cotangente.

$y = arccot (- 1)$

Étape 2.4.8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.8.1

La valeur exacte de $arccot (- 1)$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

Étape 2.4.10

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.4.10.1

Ajoutez $2 π$ à $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Étape 2.4.10.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{4}$ est positif et coterminal avec $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{7 π}{4}$

Étape 2.4.11

Déterminez la période de $\cot (y)$ .

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Étape 2.4.11.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.4.11.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.4.11.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.4.11.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.4.12

La période de la fonction $\cot (y)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

Consolidez les réponses.

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

Étape 4.2.3

Remettez dans l’ordre $\frac{3 π}{4}$ et $π n$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Étape 4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$