Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, x$

Étape 2.2

Since $y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y^{1} = y$

$y$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $y^{1}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y \cdot x$

Étape 2.9

Multipliez $y$ par $x$ .

$y x$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ par $y x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ par $y x$ .

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$\frac{1}{y} (y (x)) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $y x$ par $1$ .

$x = y x - \frac{1}{x} (y x)$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (y x)$

Étape 3.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $y x$ .

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Étape 3.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Étape 3.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$x = y x - y$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $y x - y = x$ .

$y x - y = x$

Étape 4.2

Factorisez $y$ à partir de $y x - y$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - y = x$

Étape 4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Étape 4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = x$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Étape 5

Interchangez les variables.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Multipliez l’équation par $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez $(y - 1) (x)$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - x = y$

Étape 6.4

Résolvez $y$ .

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Étape 6.4.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - x - y = 0$

Étape 6.4.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - y = x$

Étape 6.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - y$ .

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Étape 6.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - y = x$

Étape 6.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Étape 6.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Étape 6.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = x$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 6.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Étape 6.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Étape 6.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Étape 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Étape 8

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Étape 8.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 8.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 8.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 8.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Étape 8.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Étape 8.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Étape 8.2.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 8.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 8.2.4.4

Réécrivez $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 8.2.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Étape 8.2.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Étape 8.2.4.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Étape 8.2.4.4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Étape 8.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Étape 8.2.6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 8.2.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Étape 8.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Étape 8.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Étape 8.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 8.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Étape 8.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Étape 8.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Étape 8.3.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 8.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 8.3.4.4

Réécrivez $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Étape 8.3.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Étape 8.3.4.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Étape 8.3.4.4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Étape 8.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Étape 8.3.6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Étape 8.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Étape 8.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Étape 8.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$