Trigonométrie Exemples

$- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}} = x$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 7$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}}) = - 7 x$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{4^{2} - y^{2}}) = - 7 x$

Étape 2.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = y$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) = - 7 x$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.3.1

Associez $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ et $\frac{1}{7}$ .

$- 7 (- \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7}) = - 7 x$

Étape 2.3.1.3.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.3.1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7}$ dans le numérateur.

$- 7 \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

Étape 2.3.1.3.2.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$7 (- 1) \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

Étape 2.3.1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$7 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

Étape 2.3.1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

Étape 2.3.1.3.3

Multipliez.

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Étape 2.3.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

Étape 2.3.1.3.3.2

Multipliez $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ par $1$ .

$\sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

Étape 2.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ comme ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez ${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((4 + y) (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.2

Développez $(4 + y) (4 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(4 (4 - y) + y (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

${(16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

${(16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.3.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

${(16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.2.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

${(16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

${(16 - 4 y + 4 y - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.3.2

Additionnez $- 4 y$ et $4 y$ .

${(16 + 0 - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.3.3

Additionnez $16$ et $0$ .

${(16 - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.2.1.4

Simplifiez

$16 - y^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez ${(- 7 x)}^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 7 x$ .

$16 - y^{2} = {(- 7)}^{2} x^{2}$

Étape 2.5.3.1.2

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$16 - y^{2} = 49 x^{2}$

Étape 2.6

Résolvez $y$ .

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Étape 2.6.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = 49 x^{2} - 16$

Étape 2.6.2

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = 49 x^{2} - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = 49 x^{2} - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 2.6.2.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 2.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{49 x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (49 x^{2}) + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 2.6.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (49 x^{2})$ comme $- (49 x^{2})$ .

$y^{2} = - (49 x^{2}) + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 2.6.2.3.1.3

Multipliez $49$ par $- 1$ .

$y^{2} = - 49 x^{2} + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 2.6.2.3.1.4

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$y^{2} = - 49 x^{2} + 16$

Étape 2.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 49 x^{2} + 16}$

Étape 2.6.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 49 x^{2} + 16}$ .

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Étape 2.6.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.4.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 49 x^{2} + 4^{2}}$

Étape 2.6.4.1.2

Réécrivez $49 x^{2}$ comme ${(7 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- {(7 x)}^{2} + 4^{2}}$

Étape 2.6.4.1.3

Remettez dans l’ordre $- {(7 x)}^{2}$ et $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(7 x)}^{2}}$

Étape 2.6.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = 7 x$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + 7 x) (4 - (7 x))}$

Étape 2.6.4.3

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Étape 2.6.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Étape 2.6.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Étape 2.6.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{4}{7}, 0]$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(4 + 7 x) (4 - 7 x) \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 + 7 x = 0$

$4 - 7 x = 0$

Étape 4.3.2.2

Définissez $4 + 7 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Définissez $4 + 7 x$ égal à $0$ .

$4 + 7 x = 0$

Étape 4.3.2.2.2

Résolvez $4 + 7 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.3.2.2.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$7 x = - 4$

Étape 4.3.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = - 4$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = - 4$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 4}{7}$

Étape 4.3.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.3.2.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 4}{7}$

Étape 4.3.2.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{7}$

Étape 4.3.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{7}$

Étape 4.3.2.3

Définissez $4 - 7 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Définissez $4 - 7 x$ égal à $0$ .

$4 - 7 x = 0$

Étape 4.3.2.3.2

Résolvez $4 - 7 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.3.2.3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 7 x = - 4$

Étape 4.3.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- 7 x = - 4$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 7 x = - 4$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 4}{- 7}$

Étape 4.3.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 4.3.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 4}{- 7}$

Étape 4.3.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 7}$

Étape 4.3.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{4}{7}$

Étape 4.3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 + 7 x) (4 - 7 x) \geq 0$ vraie.

$x = - \frac{4}{7}, \frac{4}{7}$

Étape 4.3.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{4}{7}$

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$

$x > \frac{4}{7}$

Étape 4.3.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.3.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{4}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{4}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 4.3.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 + 7 (- 3)) (4 - 7 \cdot - 3) \geq 0$

Étape 4.3.2.6.1.3

Le côté gauche $- 425$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.3.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.3.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 + 7 (0)) (4 - 7 \cdot 0) \geq 0$

Étape 4.3.2.6.2.3

Le côté gauche $16$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.3.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.3.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 4.3.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 + 7 (3)) (4 - 7 \cdot 3) \geq 0$

Étape 4.3.2.6.3.3

Le côté gauche $- 425$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{4}{7}$ Faux

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ Vrai

$x > \frac{4}{7}$ Faux

$x < - \frac{4}{7}$ Faux

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ Vrai

$x > \frac{4}{7}$ Faux

Étape 4.3.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{4}{7} \leq x \leq \frac{4}{7}$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \frac{4}{7}, \frac{4}{7}]$

Étape 4.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ n’est pas un inverse de $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 5