Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{y}))}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot {\arctan (\sqrt{y})}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2

Associez.

$x = \frac{1 \cdot 1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}} = x$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}} = x$

Étape 2.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} = x$

Étape 2.4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 2.4.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} = x$ par $2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.5.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} = x$ par $2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.5.2.3

Annulez le facteur commun de ${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.6

Résolvez l’équation.

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Étape 2.6.1

Réécrivez l’équation comme $2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$ .

$2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$

Étape 2.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$ par $2 x$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$ par $2 x$ .

$\frac{2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 2.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 2.6.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 2.6.2.2.4

Divisez ${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x}$

Étape 2.6.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Étape 2.6.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.6.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.4.1.1

Simplifiez ${({\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.6.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.6.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Étape 2.6.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Étape 2.6.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{1} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Étape 2.6.4.1.1.2

Simplifiez

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Étape 2.6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.4.2.1

Simplifiez ${(\frac{1}{2 x})}^{2}$ .

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Étape 2.6.4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.6.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2 x}$ .

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1^{2}}{{(2 x)}^{2}}$

Étape 2.6.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1^{2}}{2^{2} x^{2}}$

Étape 2.6.4.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2^{2} x^{2}}$

Étape 2.6.4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4 x^{2}}$

Étape 2.6.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.6.5.1

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y^{\frac{1}{2}} = \tan (\frac{1}{4 x^{2}})$

Étape 2.6.5.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Étape 2.6.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.5.3.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.6.5.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.6.5.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Étape 2.6.5.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.5.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Étape 2.6.5.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Étape 2.6.5.3.1.2

Simplifiez

$y = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{4 {(\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2} \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.2

Associez les exposants.

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Étape 4.2.3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{2}$ comme $2^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(2^{- 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.2.3

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {({(2)}^{- 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(2^{- 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.2.6

Multipliez les exposants dans ${(2^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 4.2.3.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} \cdot 2^{- 1 \cdot 2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} \cdot 2^{- 2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2 - 2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.2.8

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{0} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.3.4

Multipliez les exposants dans ${({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.2.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{- 1}})$

Étape 4.2.3.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot \frac{1}{\arctan (\sqrt{x})}})$

Étape 4.2.3.6

Multipliez $\frac{1}{\arctan (\sqrt{x})}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{\frac{1}{\arctan (\sqrt{x})}})$

Étape 4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (1 \arctan (\sqrt{x}))$

Étape 4.2.5

Multipliez $\arctan (\sqrt{x})$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\arctan (\sqrt{x}))$

Étape 4.2.6

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = {\sqrt{x}}^{2}$

Étape 4.2.7

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 4.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 4.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 4.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x$

Étape 4.2.7.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})}))}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2} \cdot {\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.5

Associez.

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1 \cdot 1}{2 {\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2 {\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$