Trigonométrie Exemples

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2} = x$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.2

Simplifiez $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} + \frac{9 y}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour écrire $\frac{3 y^{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{3 y^{2}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2} + 3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} + 3 y^{2} \cdot 4$ .

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Étape 2.2.4.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + 3 y^{2} \cdot 4}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.2.4.1.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2} \cdot 4$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 \cdot 4)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.2.4.1.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 \cdot 4)$ .

$\frac{y^{2} (1 + 3 \cdot 4)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{y^{2} (1 + 12)}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.2.4.1.3

Additionnez $1$ et $12$ .

$\frac{y^{2} \cdot 13}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.2.4.2

Déplacez $13$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{13 y^{2}}{8} + \frac{9 y}{2} = x$

Étape 2.3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{13 y^{2}}{8} + \frac{9 y}{2} - x = 0$

Étape 2.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $8$ , puis simplifiez.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (\frac{13 y^{2}}{8}) + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Étape 2.4.2

Simplifiez

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{13 y^{2}}{8}) + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$13 y^{2} + 8 (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$13 y^{2} + 2 (4) (\frac{9 y}{2}) + 8 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$13 y^{2} + 2 \cdot (4 (\frac{9 y}{2})) + 8 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$13 y^{2} + 4 (9 y) + 8 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.3

Multipliez $9$ par $4$ .

$13 y^{2} + 36 y + 8 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$13 y^{2} + 36 y - 8 x = 0$

Étape 2.4.3

Déplacez $36 y$ .

$13 y^{2} - 8 x + 36 y = 0$

Étape 2.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs $a = 13$ , $b = 36$ et $c = - 8 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot (13 \cdot (- 8 x))}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $36$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 52$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7.1.3

Factorisez $16$ à partir de $1296 + 416 x$ .

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Étape 2.7.1.3.1

Factorisez $16$ à partir de $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7.1.3.2

Factorisez $16$ à partir de $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7.1.3.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $16 (81 + 26 x)$ comme ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

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Étape 2.7.1.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $36$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $- 52$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.8.1.3

Factorisez $16$ à partir de $1296 + 416 x$ .

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Étape 2.8.1.3.1

Factorisez $16$ à partir de $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.8.1.3.2

Factorisez $16$ à partir de $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.8.1.3.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.8.1.4

Réécrivez $16 (81 + 26 x)$ comme ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

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Étape 2.8.1.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.8.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Étape 2.8.3

Simplifiez $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Étape 2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 18 + 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Étape 2.8.5

Factorisez $2$ à partir de $- 18 + 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

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Étape 2.8.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$y = \frac{2 \cdot - 9 + 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Étape 2.8.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 9 + 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

$y = \frac{2 (- 9 + \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Étape 2.8.6

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$y = \frac{2 (- 1 \cdot 9 + \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Étape 2.8.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{81 + 26 x}$ .

$y = \frac{2 (- 1 \cdot 9 - 1 (- \sqrt{81 + 26 x}))}{13}$

Étape 2.8.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (9) - 1 (- \sqrt{81 + 26 x})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (9 - \sqrt{81 + 26 x}))}{13}$

Étape 2.8.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1.1

Élevez $36$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 13 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 13 \cdot - 8$ .

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Étape 2.9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 52 \cdot (- 8 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.9.1.2.2

Multipliez $- 52$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.9.1.3

Factorisez $16$ à partir de $1296 + 416 x$ .

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Étape 2.9.1.3.1

Factorisez $16$ à partir de $1296$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 416 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.9.1.3.2

Factorisez $16$ à partir de $416 x$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81) + 16 (26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.9.1.3.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (81) + 16 (26 x)$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{16 (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.9.1.4

Réécrivez $16 (81 + 26 x)$ comme ${(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)$ .

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Étape 2.9.1.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{4^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.9.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 36 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (81 + 26 x)}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.9.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 36 \pm 2^{2} \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.9.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{2 \cdot 13}$

Étape 2.9.2

Multipliez $2$ par $13$ .

$y = \frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$

Étape 2.9.3

Simplifiez $\frac{- 36 \pm 4 \sqrt{81 + 26 x}}{26}$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Étape 2.9.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 18 - 2 \sqrt{81 + 26 x}}{13}$

Étape 2.9.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 18 - 2 \sqrt{81 + 26 x}$ .

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Étape 2.9.5.1

Remettez dans l’ordre $81$ et $26 x$ .

$y = \frac{- 18 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Étape 2.9.5.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 18$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 9 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Étape 2.9.5.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \sqrt{26 x + 81}$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 9 - 2 \sqrt{26 x + 81}}{13}$

Étape 2.9.5.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (9) - 2 (\sqrt{26 x + 81})$ .

$y = \frac{- 2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Étape 2.9.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Étape 2.10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$

$y = - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ et $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{81}{26}, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $- \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{81 + 26 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$81 + 26 x \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $81$ des deux côtés de l’inégalité.

$26 x \geq - 81$

Étape 4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $26 x \geq - 81$ par $26$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $26 x \geq - 81$ par $26$ .

$\frac{26 x}{26} \geq \frac{- 81}{26}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $26$ .

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Étape 4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{26 x}{26} \geq \frac{- 81}{26}$

Étape 4.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 81}{26}$

Étape 4.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x \geq - \frac{81}{26}$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \frac{81}{26}, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ est le domaine de $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (9 - \sqrt{81 + 26 x})}{13}, - \frac{2 (9 + \sqrt{26 x + 81})}{13}$

Étape 5