Trigonométrie Exemples

$45^{y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $45^{y} = x$ .

$45^{y} = x$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (45^{y}) = \ln (x)$

Étape 3

Développez $\ln (45^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (45) = \ln (x)$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $y \ln (45) = \ln (x)$ par $\ln (45)$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (45) = \ln (x)$ par $\ln (45)$ .

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (45)$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Étape 5

Interchangez les variables.

$x = \frac{\ln (y)}{\ln (45)}$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$ .

$\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\ln (45)$ .

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\ln (45)$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (y) = \ln (45) x$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (45) x$ .

$\ln (y) = x \ln (45)$

Étape 6.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{x \ln (45)}$

Étape 6.5

Réécrivez $\ln (y) = x \ln (45)$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x \ln (45)} = y$

Étape 6.6

Réécrivez l’équation comme $y = e^{x \ln (45)}$ .

$y = e^{x \ln (45)}$

Étape 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

Étape 8

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

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Étape 8.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 8.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 8.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 8.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{(\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) \ln (45)}$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun de $\ln (45)$ .

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Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\frac{\ln (x)}{\ln (45)} \cdot \ln (45)}$

Étape 8.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\ln (x)}$

Étape 8.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = x$

Étape 8.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 8.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 8.3.2

Évaluez $f (e^{x \ln (45)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{\ln (e^{x \ln (45)})}{\ln (45)}$

Étape 8.3.3

Développez $\ln (e^{x \ln (45)})$ en déplaçant $x \ln (45)$ hors du logarithme.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Étape 8.3.4

Annulez le facteur commun de $\ln (45)$ .

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Étape 8.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Étape 8.3.4.2

Divisez $x \ln (e)$ par $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \ln (e)$

Étape 8.3.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \cdot 1$

Étape 8.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x$

Étape 8.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$