Trigonométrie Exemples

$45^{y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme

$45^{y} = x$ .

$45^{y} = x$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (45^{y}) = \ln (x)$

Étape 3

Développez

$\ln (45^{y})$ en déplaçant

$y$ hors du logarithme.

$y \ln (45) = \ln (x)$

Étape 4

Divisez chaque terme dans

$y \ln (45) = \ln (x)$ par

$\ln (45)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez chaque terme dans

$y \ln (45) = \ln (x)$ par

$\ln (45)$ .

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de

$\ln (45)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Étape 4.2.1.2

Divisez

$y$ par

$1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Étape 5

Interchangez les variables.

$x = \frac{\ln (y)}{\ln (45)}$

Étape 6

Résolvez

$y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme

$\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$ .

$\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par

$\ln (45)$ .

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de

$\ln (45)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (y) = \ln (45) x$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

$\ln (45) x$ .

$\ln (y) = x \ln (45)$

Étape 6.4

Pour résoudre

$y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{x \ln (45)}$

Étape 6.5

Réécrivez

$\ln (y) = x \ln (45)$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si

$x$ et

$b$ sont des nombres réels positifs et

$b \neq 1$ , alors

$\log_{b} (x) = y$ est équivalent à

$b^{y} = x$ .

$e^{x \ln (45)} = y$

Étape 6.6

Réécrivez l’équation comme

$y = e^{x \ln (45)}$ .

$y = e^{x \ln (45)}$

Étape 7

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

Étape 8

Vérifiez si

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ est l’inverse de

$f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

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Étape 8.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 8.2

Évaluez

$f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 8.2.2

Évaluez

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)})$ en remplaçant la valeur de

$f$ par

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{(\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) \ln (45)}$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun de

$\ln (45)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\frac{\ln (x)}{\ln (45)} \cdot \ln (45)}$

Étape 8.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\ln (x)}$

Étape 8.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = x$

Étape 8.3

Évaluez

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 8.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 8.3.2

Évaluez

$f (e^{x \ln (45)})$ en remplaçant la valeur de

$f^{- 1}$ par

$f$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{\ln (e^{x \ln (45)})}{\ln (45)}$

Étape 8.3.3

Développez

$\ln (e^{x \ln (45)})$ en déplaçant

$x \ln (45)$ hors du logarithme.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Étape 8.3.4

Annulez le facteur commun de

$\ln (45)$ .

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Étape 8.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Étape 8.3.4.2

Divisez

$x \ln (e)$ par

$1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \ln (e)$

Étape 8.3.5

Le logarithme naturel de

$e$ est

$1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \cdot 1$

Étape 8.3.6

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x$

Étape 8.4

Comme

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ,

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ est l’inverse de

$f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$