Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\tan (y)}{\sec (y)} = x$ .

$\frac{\tan (y)}{\sec (y)} = x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{\tan (y)}{\sec (y)}$ .

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}} = x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $\tan (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}} = x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y) = x$

Étape 2.2.1.4

Écrivez $\cos (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1} = x$

Étape 2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $\cos (y)$ .

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Étape 2.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1} = x$

Étape 2.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (y) = x$

Étape 2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y = \arcsin (x)$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\tan (x)}{\sec (x)})$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}})$

Étape 4.2.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}})$

Étape 4.2.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \cos (x))$

Étape 4.2.6

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1})$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1})$

Étape 4.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\sin (x))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\arcsin (x))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arcsin (x)) = \frac{\tan (\arcsin (x))}{\sec (\arcsin (x))}$

Étape 4.3.3

Réécrivez $\sec (\arcsin (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$f (\arcsin (x)) = \frac{\tan (\arcsin (x))}{\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez $\tan (\arcsin (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$f (\arcsin (x)) = \frac{\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))}}{\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}}$

Étape 4.3.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}$ .

$f (\arcsin (x)) = \frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \cos (\arcsin (x))$

Étape 4.3.6

Écrivez $\cos (\arcsin (x))$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\arcsin (x)) = \frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \frac{\cos (\arcsin (x))}{1}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $\cos (\arcsin (x))$ .

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Étape 4.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\arcsin (x)) = \frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \frac{\cos (\arcsin (x))}{1}$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\arcsin (x)) = \sin (\arcsin (x))$

Étape 4.3.8

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\arcsin (x)) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$