Trigonométrie Exemples

$\sqrt{w^{11}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$w = \sqrt{y^{11}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y^{11}} = w$ .

$\sqrt{y^{11}} = w$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y^{11}}}^{2} = w^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{11}}$ comme $y^{\frac{11}{2}}$ .

${(y^{\frac{11}{2}})}^{2} = w^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{11}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{11}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{11}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{11} = w^{2}$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[11]{w^{2}}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (w)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$ est l’inverse de $f (w) = \sqrt{w^{11}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (w)) = w$ et $f (f^{- 1} (w)) = w$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (w))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (w))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{w^{11}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(\sqrt{w^{11}})}^{2}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $w^{11}$ comme ${(w^{5})}^{2} w$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $w^{10}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{\sqrt{w^{10} w}}^{2}}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $w^{10}$ comme ${(w^{5})}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{\sqrt{{(w^{5})}^{2} w}}^{2}}$

Étape 4.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(w^{5} \sqrt{w})}^{2}}$

Étape 4.2.5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.5.1

Appliquez la règle de produit à $w^{5} \sqrt{w}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(w^{5})}^{2} {\sqrt{w}}^{2}}$

Étape 4.2.5.2

Multipliez les exposants dans ${(w^{5})}^{2}$ .

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Étape 4.2.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{5 \cdot 2} {\sqrt{w}}^{2}}$

Étape 4.2.5.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} {\sqrt{w}}^{2}}$

Étape 4.2.6

Réécrivez ${\sqrt{w}}^{2}$ comme $w$ .

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Étape 4.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{w}$ comme $w^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} {(w^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

Étape 4.2.6.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

Étape 4.2.7

Multipliez $w^{10}$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.7.1

Multipliez $w^{10}$ par $w$ .

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Étape 4.2.7.1.1

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

Étape 4.2.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10 + 1}}$

Étape 4.2.7.2

Additionnez $10$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{11}}$

Étape 4.2.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = w$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (w))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (w))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\sqrt[11]{w^{2}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{{(\sqrt[11]{w^{2}})}^{11}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez ${\sqrt[11]{w^{2}}}^{11}$ comme $w^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[11]{w^{2}}$ comme $w^{\frac{2}{11}}$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{{(w^{\frac{2}{11}})}^{11}}$

Étape 4.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2}{11} \cdot 11}}$

Étape 4.3.3.3

Associez $\frac{2}{11}$ et $11$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2 \cdot 11}{11}}}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $2$ par $11$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{22}{11}}}$

Étape 4.3.3.5

Annulez le facteur commun à $22$ et $11$ .

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Étape 4.3.3.5.1

Factorisez $11$ à partir de $22$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11}}}$

Étape 4.3.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.5.2.1

Factorisez $11$ à partir de $11$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11 (1)}}}$

Étape 4.3.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11 \cdot 1}}}$

Étape 4.3.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2}{1}}}$

Étape 4.3.3.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{2}}$

Étape 4.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = w$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (w)) = w$ et $f (f^{- 1} (w)) = w$ , $f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$ est l’inverse de $f (w) = \sqrt{w^{11}}$ .

$f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$