Trigonométrie Exemples

$1 - \sec^{2} (x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 1 - \sec^{2} (y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $1 - \sec^{2} (y) = x$ .

$1 - \sec^{2} (y) = x$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sec^{2} (y) = x - 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- \sec^{2} (y) = x - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- \sec^{2} (y) = x - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (y)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sec^{2} (y)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $\sec^{2} (y)$ par $1$ .

$\sec^{2} (y) = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sec^{2} (y) = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$\sec^{2} (y) = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sec^{2} (y) = - x + 1$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{- x + 1}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$

Étape 2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $y$ .

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Étape 2.7

Résolvez $y$ dans $\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$ .

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Étape 2.7.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la sécante.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

Étape 2.8

Résolvez $y$ dans $\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$ .

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Étape 2.8.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la sécante.

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Étape 2.9

Indiquez toutes les solutions.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ est l’inverse de $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ et $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[2, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x + 1 \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 1$

Étape 4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x \leq 1$

Étape 4.3.3

Définissez l’argument dans $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ inférieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{- x + 1} \leq - 1$

Étape 4.3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x + 1}$ comme ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.2.1

Simplifiez ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x + 1)}^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.4.2.2.1.2

Simplifiez

$- x + 1 \leq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.4.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- x + 1 \leq 1$

Étape 4.3.4.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.3.4.3.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \leq 1 - 1$

Étape 4.3.4.3.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- x \leq 0$

Étape 4.3.4.3.2

Divisez chaque terme dans $- x \leq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.4.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x \geq 0$

Étape 4.3.4.4

Déterminez le domaine de $\sqrt{- x + 1} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x + 1 \geq 0$

Étape 4.3.4.4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 1$

Étape 4.3.4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.4.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.4.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x \leq 1$

Étape 4.3.4.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1]$

Étape 4.3.4.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 4.3.4.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.3.4.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.3.4.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{- (- 2) + 1} \leq - 1$

Étape 4.3.4.6.1.3

Le côté gauche $1.7320508$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.4.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 4.3.4.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{- (0.5) + 1} \leq - 1$

Étape 4.3.4.6.2.3

Le côté gauche $0.70710678$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.4.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 4.3.4.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{- (4) + 1} \leq - 1$

Étape 4.3.4.6.3.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.4.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Faux

Étape 4.3.4.7

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution

Étape 4.3.5

Définissez l’argument dans $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ supérieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{- x + 1} \geq 1$

Étape 4.3.6

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.6.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.6.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x + 1}$ comme ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.2.1

Simplifiez ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.6.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.6.2.2.1.2

Simplifiez

$- x + 1 \geq 1^{2}$

Étape 4.3.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- x + 1 \geq 1$

Étape 4.3.6.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq 1 - 1$

Étape 4.3.6.3.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- x \geq 0$

Étape 4.3.6.3.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.6.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x \leq 0$

Étape 4.3.6.4

Déterminez le domaine de $\sqrt{- x + 1} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x + 1 \geq 0$

Étape 4.3.6.4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 1$

Étape 4.3.6.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.6.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.6.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.6.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x \leq 1$

Étape 4.3.6.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1]$

Étape 4.3.6.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 0$

Étape 4.3.7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1]$

Étape 4.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ , $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ n’est pas un inverse de $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 5