Trigonométrie Exemples

$x^{2} + y^{2} - 20 x - 16 y + 100 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 16$ et $c = x^{2} - 20 x + 100$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100)$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 16$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x + 2 \cdot - 10) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x - 20) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.4

Soustrayez $20$ de $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 36$ .

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Étape 3.1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 (x) - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x + 2 \cdot - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 18$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6

Associez les exposants.

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Étape 3.1.3.6.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x - 2 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Additionnez $- 16$ et $20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 2 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 4$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 2 (2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Réécrivez $4 (x - 18) (- x + 2)$ comme $2^{2} ((x - 18) (- x + 2))$ .

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Étape 3.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((x - 18) (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100)$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 16$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x + 2 \cdot - 10) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x - 20) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.4

Soustrayez $20$ de $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 36$ .

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Étape 4.1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 (x) - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x + 2 \cdot - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 18$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.6

Associez les exposants.

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Étape 4.1.3.6.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x - 2 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 16$ et $20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 2 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 4$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 2 (2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Réécrivez $4 (x - 18) (- x + 2)$ comme $2^{2} ((x - 18) (- x + 2))$ .

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Étape 4.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((x - 18) (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100)$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 16$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x + 2 \cdot - 10) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x - 20) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.4

Soustrayez $20$ de $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 36$ .

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Étape 5.1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 (x) - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x + 2 \cdot - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 18$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.6

Associez les exposants.

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Étape 5.1.3.6.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x - 2 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Additionnez $- 16$ et $20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 2 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 4$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 2 (2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Réécrivez $4 (x - 18) (- x + 2)$ comme $2^{2} ((x - 18) (- x + 2))$ .

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Étape 5.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((x - 18) (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

$y = 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Étape 7

Interchangez les variables. Créez une équation pour chaque expression.

$x = 8 + \sqrt{(y - 18) (- y + 2)}, x = 8 - \sqrt{(y - 18) (- y + 2)}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $8 + \sqrt{(y - 18) (- y + 2)} = x$ .

$8 + \sqrt{(y - 18) (- y + 2)} = x$

Étape 8.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{(y - 18) (- y + 2)} = x - 8$

Étape 8.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{(y - 18) (- y + 2)}}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 8.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(y - 18) (- y + 2)}$ comme ${((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez ${({((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((y - 18) (- y + 2))}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.2

Développez $(y - 18) (- y + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(y (- y + 2) - 18 (- y + 2))}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(y (- y) + y \cdot 2 - 18 (- y + 2))}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(y (- y) + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.4.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- y \cdot y + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

${(- (y \cdot y) + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

${(- y^{2} + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

${(- y^{2} + 2 \cdot y - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

${(- y^{2} + 2 y + 18 y - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.1.5

Multipliez $- 18$ par $2$ .

${(- y^{2} + 2 y + 18 y - 36)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.2

Additionnez $2 y$ et $18 y$ .

${(- y^{2} + 20 y - 36)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.4

Simplifiez

$- y^{2} + 20 y - 36 = {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.3.1

Simplifiez ${(x - 8)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 8)}^{2}$ comme $(x - 8) (x - 8)$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = (x - 8) (x - 8)$

Étape 8.4.3.1.2

Développez $(x - 8) (x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y^{2} + 20 y - 36 = x (x - 8) - 8 (x - 8)$

Étape 8.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- y^{2} + 20 y - 36 = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)$

Étape 8.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y^{2} + 20 y - 36 = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Étape 8.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Étape 8.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8$

Étape 8.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} - 8 x - 8 x + 64$

Étape 8.4.3.1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} - 16 x + 64$

Étape 8.5

Résolvez $y$ .

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Étape 8.5.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 8.5.1.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.5.1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + 20 y - 36 - x^{2} = - 16 x + 64$

Étape 8.5.1.1.2

Ajoutez $16 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + 20 y - 36 - x^{2} + 16 x = 64$

Étape 8.5.1.1.3

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + 20 y - 36 - x^{2} + 16 x - 64 = 0$

Étape 8.5.1.2

Soustrayez $64$ de $- 36$ .

$- y^{2} + 20 y - x^{2} + 16 x - 100 = 0$

Étape 8.5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.5.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 20$ et $c = - x^{2} + 16 x - 100$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4

Simplifiez

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Étape 8.5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.4.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 (- x^{2}) + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.4.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.4.3

Multipliez $4$ par $- 100$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x - 400}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.5

Soustrayez $400$ de $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x + 0}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.6

Additionnez $- 4 x^{2} + 64 x$ et $0$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.7

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{2} + 64 x$ .

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Étape 8.5.4.1.7.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.7.2

Factorisez $4 x$ à partir de $64 x$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 4 x (16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.7.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x) + 4 x (16)$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.8

Réécrivez $4 x (- x + 16)$ comme $2^{2} (x (- x + 4^{2}))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.4.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.8.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} (x (- x + 4^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$

Étape 8.5.4.3

Simplifiez $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$ .

$y = 10 \pm \sqrt{x (- x + 16)}$

Étape 8.5.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 8.5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.5.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 (- x^{2}) + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.4

Simplifiez

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Étape 8.5.5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.4.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.4.3

Multipliez $4$ par $- 100$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x - 400}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.5

Soustrayez $400$ de $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x + 0}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.6

Additionnez $- 4 x^{2} + 64 x$ et $0$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.7

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{2} + 64 x$ .

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Étape 8.5.5.1.7.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.7.2

Factorisez $4 x$ à partir de $64 x$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 4 x (16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.7.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x) + 4 x (16)$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.8

Réécrivez $4 x (- x + 16)$ comme $2^{2} (x (- x + 4^{2}))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.5.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.8.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} (x (- x + 4^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$

Étape 8.5.5.3

Simplifiez $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$ .

$y = 10 \pm \sqrt{x (- x + 16)}$

Étape 8.5.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

Étape 8.5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.6.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 (- x^{2}) + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.4.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.4.3

Multipliez $4$ par $- 100$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x - 400}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.5

Soustrayez $400$ de $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x + 0}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.6

Additionnez $- 4 x^{2} + 64 x$ et $0$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.7

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{2} + 64 x$ .

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Étape 8.5.6.1.7.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.7.2

Factorisez $4 x$ à partir de $64 x$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 4 x (16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.7.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x) + 4 x (16)$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.8

Réécrivez $4 x (- x + 16)$ comme $2^{2} (x (- x + 4^{2}))$ .

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Étape 8.5.6.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.8.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} (x (- x + 4^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$

Étape 8.5.6.3

Simplifiez $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$ .

$y = 10 \pm \sqrt{x (- x + 16)}$

Étape 8.5.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

Étape 8.5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

Étape 9

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

Étape 10

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ est l’inverse de $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ .

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Étape 10.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ et $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ puis comparez-les.

Étape 10.2

Déterminez la plage de $8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ .

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Étape 10.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[8, 8]$

Étape 10.3

Déterminez le domaine de $10 + \sqrt{x (- x + 16)}$ .

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Étape 10.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x (- x + 16)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x (- x + 16) \geq 0$

Étape 10.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$- x + 16 = 0$

Étape 10.3.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 10.3.2.3

Définissez $- x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.3.2.3.1

Définissez $- x + 16$ égal à $0$ .

$- x + 16 = 0$

Étape 10.3.2.3.2

Résolvez $- x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.3.2.3.2.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 16$

Étape 10.3.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.3.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 10.3.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 10.3.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 10.3.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x = 16$

Étape 10.3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (- x + 16) \geq 0$ vraie.

$x = 0, 16$

Étape 10.3.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 16$

$x > 16$

Étape 10.3.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.3.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.3.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) (- (- 2) + 16) \geq 0$

Étape 10.3.2.6.1.3

Le côté gauche $- 36$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 16$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 16$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.3.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$(2) (- (2) + 16) \geq 0$

Étape 10.3.2.6.2.3

Le côté gauche $28$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 16$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 16$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 18$

Étape 10.3.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $18$ dans l’inégalité d’origine.

$(18) (- (18) + 16) \geq 0$

Étape 10.3.2.6.3.3

Le côté gauche $- 36$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 16$ Vrai

$x > 16$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 16$ Vrai

$x > 16$ Faux

Étape 10.3.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 16$

Étape 10.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, 16]$

Étape 10.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ , $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ n’est pas un inverse de $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 11