Trigonométrie Exemples

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = x^{2} + 4 x - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Additionnez $36$ et $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ en forme factorisée.

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ .

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Étape 3.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 3.1.6.2.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $2$ plus $- 6$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $4 (- x + 2) (x + 6)$ comme $2^{2} ((- x + 2) (x + 6))$ .

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Étape 3.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Additionnez $36$ et $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ .

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Étape 4.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 4.1.6.2.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $2$ plus $- 6$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $4 (- x + 2) (x + 6)$ comme $2^{2} ((- x + 2) (x + 6))$ .

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Étape 4.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Additionnez $36$ et $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 5.1.6.2.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $2$ plus $- 6$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4 (- x + 2) (x + 6)$ comme $2^{2} ((- x + 2) (x + 6))$ .

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Étape 5.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

$y = 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Étape 7

Interchangez les variables. Créez une équation pour chaque expression.

$x = 3 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}, x = 3 - \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $3 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)} = x$ .

$3 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)} = x$

Étape 8.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{(- y + 2) (y + 6)} = x - 3$

Étape 8.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 8.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$ comme ${((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez ${({((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((- y + 2) (y + 6))}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.2

Développez $(- y + 2) (y + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(- y (y + 6) + 2 (y + 6))}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(- y \cdot y - y \cdot 6 + 2 (y + 6))}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(- y \cdot y - y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1.3.1.1.1

Déplacez $y$ .

${(- (y \cdot y) - y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

${(- y^{2} - y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

${(- y^{2} - 6 y + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $6$ .

${(- y^{2} - 6 y + 2 y + 12)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.2

Additionnez $- 6 y$ et $2 y$ .

${(- y^{2} - 4 y + 12)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.4

Simplifiez

$- y^{2} - 4 y + 12 = {(x - 3)}^{2}$

Étape 8.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.3.1

Simplifiez ${(x - 3)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = (x - 3) (x - 3)$

Étape 8.4.3.1.2

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y^{2} - 4 y + 12 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Étape 8.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- y^{2} - 4 y + 12 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Étape 8.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y^{2} - 4 y + 12 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Étape 8.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Étape 8.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Étape 8.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Étape 8.4.3.1.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} - 6 x + 9$

Étape 8.5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} - 4 y + 12 - x^{2} = - 6 x + 9$

Étape 8.5.1.1.2

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- y^{2} - 4 y + 12 - x^{2} + 6 x = 9$

Étape 8.5.1.1.3

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} - 4 y + 12 - x^{2} + 6 x - 9 = 0$

Étape 8.5.1.2

Soustrayez $9$ de $12$ .

$- y^{2} - 4 y - x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Étape 8.5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.5.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 4$ et $c = - x^{2} + 6 x + 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.4.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.4.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.4.1.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.2.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.2.4

Réécrivez $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ comme $- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.4

Factorisez.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.5

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.4.1.5.1

Factorisez le signe négatif.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- ((- 4 (- x - 1)) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.6

Réécrivez $4 (- x - 1) (x - 7)$ comme $2^{2} ((- x - 1) (x - 7))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.4.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$

Étape 8.5.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$

Étape 8.5.4.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Étape 8.5.4.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ comme $- (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Étape 8.5.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 8.5.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.5.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.5.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.5.1.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.2.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.2.4

Réécrivez $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ comme $- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.4

Factorisez.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.5

Associez les exposants.

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Étape 8.5.5.1.5.1

Factorisez le signe négatif.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- ((- 4 (- x - 1)) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.6

Réécrivez $4 (- x - 1) (x - 7)$ comme $2^{2} ((- x - 1) (x - 7))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.5.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$

Étape 8.5.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$

Étape 8.5.5.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Étape 8.5.5.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ comme $- (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Étape 8.5.5.6

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - (2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Étape 8.5.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Étape 8.5.5.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Étape 8.5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.5.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.6.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.6.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.6.1.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.2.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.2.4

Réécrivez $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ comme $- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.4

Factorisez.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.5

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.6.1.5.1

Factorisez le signe négatif.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- ((- 4 (- x - 1)) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.6

Réécrivez $4 (- x - 1) (x - 7)$ comme $2^{2} ((- x - 1) (x - 7))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.6.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 8.5.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$

Étape 8.5.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$

Étape 8.5.6.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Étape 8.5.6.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ comme $- (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Étape 8.5.6.6

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - (2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Étape 8.5.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Étape 8.5.6.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Étape 8.5.6.9

Multipliez $- - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ .

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Étape 8.5.6.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - 2 + 1 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Étape 8.5.6.9.2

Multipliez $\sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ par $1$ .

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Étape 8.5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Étape 9

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Étape 10

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ est l’inverse de $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

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Étape 10.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ et $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ puis comparez-les.

Étape 10.2

Déterminez la plage de $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

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Étape 10.2.1

Déterminez la plage de $3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

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Étape 10.2.1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[3, 7]$

Étape 10.2.2

Déterminez la plage de $3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

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Étape 10.2.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 1, 3]$

Étape 10.2.3

Déterminez l’union de $[3, 7], [- 1, 3]$ .

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Étape 10.2.3.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$[- 1, 7]$

Étape 10.3

Déterminez le domaine de $- 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ .

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Étape 10.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(- x - 1) (x - 7) \geq 0$

Étape 10.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x - 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 10.3.2.2

Définissez $- x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.3.2.2.1

Définissez $- x - 1$ égal à $0$ .

$- x - 1 = 0$

Étape 10.3.2.2.2

Résolvez $- x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.3.2.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 1$

Étape 10.3.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.3.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 10.3.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.2.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 10.3.2.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Étape 10.3.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.2.2.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x = - 1$

Étape 10.3.2.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.3.2.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 10.3.2.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 10.3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- x - 1) (x - 7) \geq 0$ vraie.

$x = - 1, 7$

Étape 10.3.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 7$

$x > 7$

Étape 10.3.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.3.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (- 4) - 1) ((- 4) - 7) \geq 0$

Étape 10.3.2.6.1.3

Le côté gauche $- 33$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.3.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (0) - 1) ((0) - 7) \geq 0$

Étape 10.3.2.6.2.3

Le côté gauche $7$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 10.3.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (10) - 1) ((10) - 7) \geq 0$

Étape 10.3.2.6.3.3

Le côté gauche $- 33$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 10.3.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 \leq x \leq 7$

Étape 10.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, 7]$

Étape 10.4

Déterminez le domaine de $3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

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Étape 10.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(- x + 2) (x + 6) \geq 0$

Étape 10.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 10.4.2.2

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.4.2.2.1

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ .

$- x + 2 = 0$

Étape 10.4.2.2.2

Résolvez $- x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.4.2.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 10.4.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.4.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 10.4.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.4.2.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 10.4.2.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 10.4.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.2.2.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 10.4.2.3

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.4.2.3.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 10.4.2.3.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 10.4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- x + 2) (x + 6) \geq 0$ vraie.

$x = 2, - 6$

Étape 10.4.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < 2$

$x > 2$

Étape 10.4.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.4.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 10.4.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (- 8) + 2) ((- 8) + 6) \geq 0$

Étape 10.4.2.6.1.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.4.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (0) + 2) ((0) + 6) \geq 0$

Étape 10.4.2.6.2.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.4.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (4) + 2) ((4) + 6) \geq 0$

Étape 10.4.2.6.3.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 10.4.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 6 \leq x \leq 2$

Étape 10.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 6, 2]$

Étape 10.5

Déterminez la plage de $- 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ .

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Étape 10.5.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 2, - 2]$

Étape 10.6

Comme la plage de $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ n’est pas égal au domaine de $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ , $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ n’est pas un inverse de $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 11