Trigonométrie Exemples

$\frac{x}{8 - 9 x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{y}{8 - 9 y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ .

$\frac{y}{8 - 9 y} = x$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$8 - 9 y, 1$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$8 - 9 y, 1$

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$8 - 9 y$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ par $8 - 9 y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ par $8 - 9 y$ .

$\frac{y}{8 - 9 y} (8 - 9 y) = x (8 - 9 y)$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8 - 9 y$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{8 - 9 y} (8 - 9 y) = x (8 - 9 y)$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = x (8 - 9 y)$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot 8 + x (- 9 y)$

Étape 2.3.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.3.3.2.1

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$y = 8 \cdot x + x (- 9 y)$

Étape 2.3.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = 8 x - 9 x y$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $9 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$y + 9 x y = 8 x$

Étape 2.4.2

Factorisez $y$ à partir de $y + 9 x y$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + 9 x y = 8 x$

Étape 2.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $9 x y$ .

$y \cdot 1 + y (9 x) = 8 x$

Étape 2.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (9 x)$ .

$y (1 + 9 x) = 8 x$

Étape 2.4.3

Divisez chaque terme dans $y (1 + 9 x) = 8 x$ par $1 + 9 x$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (1 + 9 x) = 8 x$ par $1 + 9 x$ .

$\frac{y (1 + 9 x)}{1 + 9 x} = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + 9 x$ .

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Étape 2.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 + 9 x)}{1 + 9 x} = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Étape 2.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{8 - 9 x}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 (\frac{x}{8 - 9 x})}{1 + 9 (\frac{x}{8 - 9 x})}$

Étape 4.2.3

Associez $8$ et $\frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{1 + 9 (\frac{x}{8 - 9 x})}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.1

Associez $9$ et $\frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{1 + \frac{9 x}{8 - 9 x}}$

Étape 4.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 - 9 x}{8 - 9 x} + \frac{9 x}{8 - 9 x}}$

Étape 4.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 - 9 x + 9 x}{8 - 9 x}}$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez $\frac{8 - 9 x + 9 x}{8 - 9 x}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.4.4.1

Additionnez $- 9 x$ et $9 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 + 0}{8 - 9 x}}$

Étape 4.2.4.4.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8}{8 - 9 x}}$

Étape 4.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 x}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.2.6.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 (x)}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Étape 4.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 x}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Étape 4.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{x}{8 - 9 x} \cdot (8 - 9 x)$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun de $8 - 9 x$ .

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Étape 4.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{x}{8 - 9 x} \cdot (8 - 9 x)$

Étape 4.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{8 x}{1 + 9 x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{1 + 9 x}}{8 - 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 - 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Multipliez $- 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Associez $- 9$ et $\frac{8 x}{1 + 9 x}$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 + \frac{- 9 (8 x)}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.4.1.2

Multipliez $8$ par $- 9$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 + \frac{- 72 x}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 - \frac{72 x}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.4.3

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + 9 x}{1 + 9 x}$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x)}{1 + 9 x} - \frac{72 x}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x) - 72 x}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.4.5

Réécrivez $\frac{8 (1 + 9 x) - 72 x}{1 + 9 x}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.5.1

Factorisez $8$ à partir de $8 (1 + 9 x) - 72 x$ .

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Étape 4.3.4.5.1.1

Factorisez $8$ à partir de $- 72 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x) + 8 (- 9 x)}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.4.5.1.2

Factorisez $8$ à partir de $8 (1 + 9 x) + 8 (- 9 x)$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x - 9 x)}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.4.5.2

Soustrayez $9 x$ de $9 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 0)}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.4.5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 \cdot 1}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.4.6

Multipliez $8$ par $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8}{1 + 9 x}}$

Étape 4.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot (1 (\frac{1 + 9 x}{8}))$

Étape 4.3.6

Multipliez $\frac{1 + 9 x}{8}$ par $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.3.7.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 (x)}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Étape 4.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{x}{1 + 9 x} \cdot (1 + 9 x)$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $1 + 9 x$ .

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Étape 4.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{x}{1 + 9 x} \cdot (1 + 9 x)$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$