Trigonométrie Exemples

\sqrt[3]{1 + tan (x)}

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

Étape 1

Interchangez les variables.

x = \sqrt[3]{1 + tan (y)}

$x = \sqrt[3]{1 + \tan (y)}$

Étape 2

Résolvez

y

$y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme

\sqrt[3]{1 + tan (y)} = x

$\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$ .

\sqrt[3]{1 + tan (y)} = x

$\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

{\sqrt[3]{1 + tan (y)}}^{3} = x^{3}

${\sqrt[3]{1 + \tan (y)}}^{3} = x^{3}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt[3]{1 + tan (y)}

$\sqrt[3]{1 + \tan (y)}$ comme

{(1 + tan (y))}^{\frac{1}{3}}

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}}$ .

{({(1 + tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez

{({(1 + tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans

{({(1 + tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(1 + tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 + \tan (y))}^{1} = x^{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$1 + \tan (y) = x^{3}$

Étape 2.4

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (y) = x^{3} - 1$

Étape 2.5

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (x^{3} - 1)$

Étape 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$

Étape 4

Vérifiez si

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ est l’inverse de

$f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)})$ en remplaçant la valeur de

$f$ par

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(\sqrt[3]{1 + \tan (x)})}^{3} - 1)$

Étape 4.2.3

Réécrivez

${\sqrt[3]{1 + \tan (x)}}^{3}$ comme

$1 + \tan (x)$ .

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Étape 4.2.3.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ comme

${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1)$

Étape 4.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1)$

Étape 4.2.3.3

Associez

$\frac{1}{3}$ et

$3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Étape 4.2.3.4

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 4.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Étape 4.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ((1 + \tan (x)) - 1)$

Étape 4.2.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (1 + \tan (x) - 1)$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans

$1 + \tan (x) - 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez

$1$ de

$1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (0 + \tan (x))$

Étape 4.2.4.2

Additionnez

$0$ et

$\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Étape 4.3

Évaluez

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez

$f (\arctan (x^{3} - 1))$ en remplaçant la valeur de

$f^{- 1}$ par

$f$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + \tan (\arctan (x^{3} - 1))}$

Étape 4.3.3

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + x^{3} - 1}$

Étape 4.3.4

Soustrayez

$1$ de

$1$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Étape 4.3.5

Additionnez

$x^{3}$ et

$0$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 4.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = x$

Étape 4.4

Comme

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ,

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ est l’inverse de

$f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$