Trigonométrie Exemples

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{1 + \tan (y)}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$ .

$\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{1 + \tan (y)}}^{3} = x^{3}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{1 + \tan (y)}$ comme ${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 + \tan (y))}^{1} = x^{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$1 + \tan (y) = x^{3}$

Étape 2.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (y) = x^{3} - 1$

Étape 2.5

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (x^{3} - 1)$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(\sqrt[3]{1 + \tan (x)})}^{3} - 1)$

Étape 4.2.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{1 + \tan (x)}}^{3}$ comme $1 + \tan (x)$ .

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Étape 4.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ comme ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1)$

Étape 4.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1)$

Étape 4.2.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Étape 4.2.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Étape 4.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ((1 + \tan (x)) - 1)$

Étape 4.2.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (1 + \tan (x) - 1)$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $1 + \tan (x) - 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (0 + \tan (x))$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $0$ et $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\arctan (x^{3} - 1))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + \tan (\arctan (x^{3} - 1))}$

Étape 4.3.3

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + x^{3} - 1}$

Étape 4.3.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Étape 4.3.5

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 4.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$