Trigonométrie Exemples

$- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ .

$- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\cos (3 y - \frac{π}{4})$ par $1$ .

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{- 2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = - \frac{x}{2}$

Étape 2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$3 y - \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{x}{2})$

Étape 2.4

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.5.3.1.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 2.5.3.1.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4 \cdot 3}$

Étape 2.5.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 (1)})}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 \cdot 1})}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (3 x - \frac{π}{4})}{1})}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 4.2.3.1.2.4

Divisez $- \cos (3 x - \frac{π}{4})$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $- - \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (1 \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 4.2.3.2.2

Multipliez $\cos (3 x - \frac{π}{4})$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 (4)}) - \frac{π}{4})$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 \cdot 4}) - \frac{π}{4})$

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4})$

Étape 4.3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.3.4.1

Associez les termes opposés dans $\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π - π}{4})$

Étape 4.3.4.1.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{0}{4})$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.4.2.1

Divisez $0$ par $4$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 0)$

Étape 4.3.4.2.2

Additionnez $\arccos (- \frac{x}{2})$ et $0$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

Étape 4.3.5

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \frac{- x}{2}$

Étape 4.3.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Étape 4.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Étape 4.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 1 (- x)$

Étape 4.3.7

Multipliez.

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Étape 4.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 1 x$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$