Trigonométrie Exemples

$5 \cos (5 x) + 2$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 5 \cos (5 y) + 2$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $5 \cos (5 y) + 2 = x$ .

$5 \cos (5 y) + 2 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 \cos (5 y) = x - 2$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $5 \cos (5 y) = x - 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (5 y) = x - 2$ par $5$ .

$\frac{5 \cos (5 y)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos (5 y)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\cos (5 y)$ par $1$ .

$\cos (5 y) = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (5 y) = \frac{x}{5} - \frac{2}{5}$

Étape 2.4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$5 y = \arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $5 y = \arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $5 y = \arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$ est l’inverse de $f (x) = 5 \cos (5 x) + 2$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x) + 2}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x) + 2 - 2}{5})}{5}$

Étape 4.2.3.2

Associez les termes opposés dans $5 \cos (5 x) + 2 - 2$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x) + 0}{5})}{5}$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $5 \cos (5 x)$ et $0$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x)}{5})}{5}$

Étape 4.2.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x)}{5})}{5}$

Étape 4.2.3.3.2

Divisez $\cos (5 x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\cos (5 x))}{5}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (5 (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5})) + 2$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (5 (\frac{\arccos (\frac{x - 2}{5})}{5})) + 2$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (5 (\frac{\arccos (\frac{x - 2}{5})}{5})) + 2$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (\arccos (\frac{x - 2}{5})) + 2$

Étape 4.3.3.3

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 (\frac{x - 2}{5}) + 2$

Étape 4.3.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 (\frac{x - 2}{5}) + 2$

Étape 4.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = x - 2 + 2$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$ est l’inverse de $f (x) = 5 \cos (5 x) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$