Trigonométrie Exemples

$- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$ .

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ par $- 4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\csc (\frac{1}{2} y)$ par $1$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2}{- 4}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la cosécante.

$\frac{1}{2} y = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 2.5

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$\frac{y}{2} = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 2.6

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 2.7

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 2.7.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ est l’inverse de $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \csc (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 4.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 4.2.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 4.2.3.1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 (2)} + \frac{1}{2})$

Étape 4.2.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Étape 4.2.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 4.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1) + 1}{2})$

Étape 4.2.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2})) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Étape 4.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1}{2})$

Étape 4.2.6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1

Associez les termes opposés dans $2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) + 0}{2})$

Étape 4.2.6.1.2

Additionnez $2 \csc (\frac{x}{2})$ et $0$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Étape 4.2.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Étape 4.2.6.2.2

Divisez $\csc (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\csc (\frac{x}{2}))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})))) + 2$

Étape 4.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Étape 4.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) + 2$

Étape 4.3.3.2

The functions cosecant and arccosecant are inverses.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + 2$

Étape 4.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 4.3.3.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{4}$ dans le numérateur.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \frac{- x}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 4.3.3.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 (- 1) (\frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 4.3.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 \cdot (- 1 \frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 4.3.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 1 (- x) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 4.3.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 1 x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 4.3.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 4.3.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 (- 2) (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 4.3.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2})) + 2$

Étape 4.3.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 2 + 2$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ est l’inverse de $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$