Trigonométrie Exemples

$4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ .

$4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ par $4$ .

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$ par $1$ .

$\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{x}{4}$

Étape 2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{y}{2} - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{x}{4})$

Étape 2.4

Ajoutez $\frac{π}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

Étape 2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Étape 2.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Étape 2.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.1

Simplifiez $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

Étape 2.6.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Étape 2.7

Ajoutez $\frac{π}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

Étape 2.8

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Étape 2.9

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.9.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.9.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Étape 2.9.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Étape 2.9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.9.2.1

Simplifiez $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

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Étape 2.9.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

Étape 2.9.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2.3.2

Divisez $\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ par $1$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) + \frac{2 π}{3}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ et $2$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \arccos (\frac{x}{4})$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $\frac{2 π}{3}$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 (\frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 \frac{π}{3}$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

Étape 4.3.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 (1)} - \frac{π}{3})$

Étape 4.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 \cdot 1} - \frac{π}{3})$

Étape 4.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}}{1} - \frac{π}{3})$

Étape 4.3.3.4.4

Divisez $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$ par $1$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3})$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3}$ .

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Étape 4.3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π - π}{3})$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{0}{3})$

Étape 4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.5.1

Divisez $0$ par $3$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + 0)$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $\arccos (\frac{x}{4})$ et $0$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}))$

Étape 4.3.6

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$