Trigonométrie Exemples

$3 \sin (4 x - π) + 4$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 3 \sin (4 y - π) + 4$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $3 \sin (4 y - π) + 4 = x$ .

$3 \sin (4 y - π) + 4 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sin (4 y - π) = x - 4$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 \sin (4 y - π) = x - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin (4 y - π) = x - 4$ par $3$ .

$\frac{3 \sin (4 y - π)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin (4 y - π)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\sin (4 y - π)$ par $1$ .

$\sin (4 y - π) = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (4 y - π) = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$4 y - π = \arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})$

Étape 2.5

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = \arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3}) + π$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $4 y = \arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3}) + π$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $4 y = \arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3}) + π$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$ est l’inverse de $f (x) = 3 \sin (4 x - π) + 4$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (4 x - π) + 4}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (4 x - π) + 4 - 4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.3.2

Associez les termes opposés dans $3 \sin (4 x - π) + 4 - 4$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (4 x - π) + 0}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $3 \sin (4 x - π)$ et $0$ .

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (4 x - π)}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (4 x - π)}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.3.3.2

Divisez $\sin (4 x - π)$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\sin (4 x - π))}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) - π) + 4$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x - 4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) - π) + 4$

Étape 4.3.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x - 4}{3}) + π}{4}) - π) + 4$

Étape 4.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x - 4}{3}) + π}{4}) - π) + 4$

Étape 4.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x - 4}{3}) + π - π) + 4$

Étape 4.3.3.2

Associez les termes opposés dans $\arcsin (\frac{x - 4}{3}) + π - π$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x - 4}{3}) + 0) + 4$

Étape 4.3.3.2.2

Additionnez $\arcsin (\frac{x - 4}{3})$ et $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x - 4}{3})) + 4$

Étape 4.3.3.3

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 (\frac{x - 4}{3}) + 4$

Étape 4.3.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 (\frac{x - 4}{3}) + 4$

Étape 4.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = x - 4 + 4$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 4 + 4$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$ est l’inverse de $f (x) = 3 \sin (4 x - π) + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$