Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} - \tan (θ)$

Étape 1

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \sin (θ)) \cos (θ)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$ par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{(1 - \sin (θ)) \cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ par $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{(1 - \sin (θ)) \cos (θ)} - \frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \sin (θ)) \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.1.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (θ)}^{1 + 1} - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) \cdot 1 - \sin (θ) (- \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.4

Multipliez $- \sin (θ) (- \sin (θ))$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + 1 \sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.4.2

Multipliez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.4.3

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.4.4

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.5

Réécrivez $\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{2} (θ)$ en forme factorisée.

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Étape 6.5.1

Réorganisez les termes.

$\frac{- \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.5.2

Réorganisez les termes.

$\frac{- \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 6.5.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \sin (θ) + 1}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $- \sin (θ) + 1$ et $1 - \sin (θ)$ .

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Étape 7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 - \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (θ)}$

Étape 8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (θ)}$ à $\sec (θ)$ .

$\sec (θ)$