Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) - \cos (θ) = \sqrt{2}$

Étape 1

Utilisez l’identité pour résoudre l’équation. Dans cette identité, $θ$ représente l’angle créé en reportant le point $(a, b)$ sur un graphe et peut donc être trouvé en utilisant $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ où $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Étape 2

Définissez l’équation pour déterminer la valeur de $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Étape 3

Prenez la tangente inverse pour résoudre l’équation pour $θ$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\tan^{-1} (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 4

Résolvez pour déterminer la valeur de $R$ .

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Étape 4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Étape 5

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$(\sqrt{2}) \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ par $\sqrt{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ par $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $\sin (θ - \frac{π}{4})$ par $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$

Étape 7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\sin^{-1} (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $θ$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Étape 9.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Étape 9.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Étape 9.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Étape 9.5.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 10

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Étape 11

Résolvez $θ$ .

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Étape 11.1

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 11.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 11.1.2

Associez les fractions.

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Étape 11.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 11.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 11.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 11.1.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Étape 11.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $θ$ du côté droit de l’équation.

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Étape 11.2.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Étape 11.2.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Étape 11.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 12

Déterminez la période de $\sin (θ - \frac{π}{4})$ .

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Étape 12.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13

La période de la fonction $\sin (θ - \frac{π}{4})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$