Trigonométrie Exemples

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

Étape 1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

Étape 2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

Étape 2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Étape 2.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

Étape 2.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Étape 3

Interchangez les variables. Créez une équation pour chaque expression.

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

Étape 4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ .

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

Étape 4.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 (y + 1)}$ comme ${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Simplifiez ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.3.2

Simplifiez

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1

Simplifiez ${(x - 2)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

Étape 4.4.3.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Étape 4.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Étape 4.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 4.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 4.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 4.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Étape 4.4.3.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

Étape 4.5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

Étape 4.5.1.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

Étape 4.5.2

Divisez chaque terme dans $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 4.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 5

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 6

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ et $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ puis comparez-les.

Étape 6.2

Déterminez la plage de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Déterminez la plage de $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[2, \infty)$

Étape 6.2.2

Déterminez la plage de $- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2]$

Étape 6.2.3

Déterminez l’union de $[2, \infty), (- \infty, 2]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Étape 6.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{3 (x + 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 (x + 1) \geq 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 (x + 1) \geq 0$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (x + 1) \geq 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Étape 6.3.2.1.2.1.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

Étape 6.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x + 1 \geq 0$

Étape 6.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 1$

Étape 6.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, \infty)$

Étape 6.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ est le domaine de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 7