Trigonométrie Exemples

$\cos (arccsc (u))$

Étape 1

Interchangez les variables.

$u = \cos (arccsc (y))$

Étape 2

Résolvez

$y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme

$\cos (arccsc (y)) = u$ .

$\cos (arccsc (y)) = u$

Étape 2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$arccsc (y)$ de l’intérieur du cosinus.

$arccsc (y) = \arccos (u)$

Étape 2.3

Take the inverse arccosecant of both sides of the equation to extract

$y$ from inside the arccosecant.

$y = \csc (\arccos (u))$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1

Simplifiez

$\csc (\arccos (u))$ .

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Étape 2.4.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets

$(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ ,

$(u, 0)$ , et l’origine. Alors

$\arccos (u)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par

$(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ . Ainsi,

$\csc (\arccos (u))$ est

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

Étape 2.4.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1.2.1

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

Étape 2.4.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = 1$ et

$b = u$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 2.4.1.3

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ par

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 2.4.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1.4.1

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ par

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 2.4.1.4.2

Élevez

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ à la puissance

$1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 2.4.1.4.3

Élevez

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ à la puissance

$1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

Étape 2.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.1.4.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Étape 2.4.1.4.6

Réécrivez

${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ comme

$(1 + u) (1 - u)$ .

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Étape 2.4.1.4.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ comme

${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.1.4.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.4.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

Étape 2.4.1.4.6.5

Simplifiez

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Étape 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (u)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Étape 4

Vérifiez si

$f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ est l’inverse de

$f (u) = \cos (arccsc (u))$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si

$f^{- 1} (f (u)) = u$ et

$f (f^{- 1} (u)) = u$ .

Étape 4.2

Évaluez

$f^{- 1} (f (u))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (u))$

Étape 4.2.2

Évaluez

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u)))$ en remplaçant la valeur de

$f$ par

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}$

Étape 4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ ,

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors

$arccsc (u)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Ainsi,

$\cos (arccsc (u))$ est

$\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.2.1

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = u$ et

$b = 1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.3

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(\frac{u}{u} + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.5

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ ,

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors

$arccsc (u)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Ainsi,

$\cos (arccsc (u))$ est

$\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.6.1

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = u$ et

$b = 1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.7

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (\frac{u}{u} - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot \frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.9

Multipliez

$\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ par

$\frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u \cdot u}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.10

Multipliez

$u$ par

$u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.11

Développez

$(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.4.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.12

Associez les termes opposés dans

$u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ .

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Étape 4.2.4.12.1

Réorganisez les facteurs dans les termes

$u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ et

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)} u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u - u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.12.2

Additionnez

$- u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ et

$u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + 0 + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.12.3

Additionnez

$u \cdot u$ et

$0$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.13.1

Multipliez

$u$ par

$u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.3

Multipliez

$- \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ .

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Étape 4.2.4.13.3.1

Élevez

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ à la puissance

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.3.2

Élevez

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ à la puissance

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.3.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{1 + 1}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.3.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.4

Réécrivez

${\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}$ comme

$(u + 1) (u - 1)$ .

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Étape 4.2.4.13.4.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ comme

${((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {({((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.4.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.4.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 4.2.4.13.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.5

Développez

$(u + 1) (u - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.13.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u (u - 1) + 1 (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.4.13.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.13.6.1.1

Multipliez

$u$ par

$u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.6.1.2

Déplacez

$- 1$ à gauche de

$u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1 \cdot u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.6.1.3

Réécrivez

$- 1 u$ comme

$- u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.6.1.4

Multipliez

$u$ par

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.6.1.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.6.2

Additionnez

$- u$ et

$u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} + 0 - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.6.3

Additionnez

$u^{2}$ et

$0$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.7

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.13.8

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.14

Soustrayez

$u^{2}$ de

$u^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{0 + 1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.15

Additionnez

$0$ et

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.16

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{1^{2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.17

Réécrivez

$\frac{1^{2}}{u^{2}}$ comme

${(\frac{1}{u})}^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.4.18

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ ,

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors

$arccsc (u)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Ainsi,

$\cos (arccsc (u))$ est

$\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.5.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.2.1

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.5.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = u$ et

$b = 1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.5.3

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(\frac{u}{u} + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \cos (arccsc (u)))}$

Étape 4.2.5.5

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ ,

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors

$arccsc (u)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par

$(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Ainsi,

$\cos (arccsc (u))$ est

$\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u})}$

Étape 4.2.5.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.6.1

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u})}$

Étape 4.2.5.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = u$ et

$b = 1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}$

Étape 4.2.5.7

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (\frac{u}{u} - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}$

Étape 4.2.5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot \frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}}$

Étape 4.2.6

Multipliez

$\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ par

$\frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u \cdot u}}$

Étape 4.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.7.1

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{1 + 1}}}$

Étape 4.2.7.2

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.1

Développez

$(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.2

Associez les termes opposés dans

$u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ .

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Étape 4.2.8.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes

$u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ et

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)} u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u - u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.2.2

Additionnez

$- u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ et

$u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + 0 + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.2.3

Additionnez

$u \cdot u$ et

$0$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.8.3.1

Multipliez

$u$ par

$u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.3

Multipliez

$- \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.3.3.1

Élevez

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ à la puissance

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.3.2

Élevez

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ à la puissance

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.3.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{1 + 1}}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.3.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.4

Réécrivez

${\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}$ comme

$(u + 1) (u - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.3.4.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ comme

${((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {({((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.4.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.4.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.5

Développez

$(u + 1) (u - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u (u - 1) + 1 (u - 1))}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 (u - 1))}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.3.6.1.1

Multipliez

$u$ par

$u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.6.1.2

Déplacez

$- 1$ à gauche de

$u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1 \cdot u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.6.1.3

Réécrivez

$- 1 u$ comme

$- u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.6.1.4

Multipliez

$u$ par

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.6.1.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u - 1)}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.6.2

Additionnez

$- u$ et

$u$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} + 0 - 1)}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.6.3

Additionnez

$u^{2}$ et

$0$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1)}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.3.8

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.4

Soustrayez

$u^{2}$ de

$u^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{0 + 1}{u^{2}}}$

Étape 4.2.8.5

Additionnez

$0$ et

$1$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{1}{u^{2}}}$

Étape 4.2.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{1}{u} \cdot u^{2}$

Étape 4.2.10

Annulez le facteur commun de

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.10.1

Factorisez

$u$ à partir de

$u^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{1}{u} \cdot (u \cdot u)$

Étape 4.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{1}{u} \cdot (u \cdot u)$

Étape 4.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = u$

Étape 4.3

Évaluez

$f (f^{- 1} (u))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (u))$

Étape 4.3.2

Évaluez

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})$ en remplaçant la valeur de

$f^{- 1}$ par

$f$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \cos (arccsc (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}))$

Étape 4.3.3

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets

$(\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ ,

$(\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors

$arccsc (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par

$(\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Ainsi,

$\cos (arccsc (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}))$ est

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 4.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.5

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ et

$b = 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} + 1) (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}) (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} + (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3

Réécrivez

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} + (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ comme

${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} + (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.2

Réécrivez

$(1 + u) (1 - u)$ comme

${({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} + {({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.3

Laissez

$u = {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de

${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ par

$u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u + u^{2}}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.4

Factorisez

$u$ à partir de

$u + u^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.4.1

Élevez

$u$ à la puissance

$1$ .

Étape 4.3.7.3.4.2

Factorisez

$u$ à partir de

$u^{1}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u \cdot 1 + u^{2}}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.4.3

Factorisez

$u$ à partir de

$u^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u \cdot 1 + u \cdot u}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.4.4

Factorisez

$u$ à partir de

$u \cdot 1 + u \cdot u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u (1 + u)}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.5

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.6.1

Développez

$(1 + u) (1 - u)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.6.2.1.1

Multipliez

$1$ par

$1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.2.1.2

Multipliez

$- u$ par

$1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.2.1.3

Multipliez

$u$ par

$1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.2.1.5

Multipliez

$u$ par

$u$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.6.2.1.5.1

Déplacez

$u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.2.1.5.2

Multipliez

$u$ par

$u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.2.2

Additionnez

$- u$ et

$u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.2.3

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.6.3.1

Développez

$(1 + u) (1 - u)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.6.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3.2.1.2

Multipliez $- u$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3.2.1.3

Multipliez $u$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3.2.1.5

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.6.3.2.1.5.1

Déplacez $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3.2.1.5.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3.2.2

Additionnez $- u$ et $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.3.6.3.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1 \cdot \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)})} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.5

Associez $- 1$ et $\frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} + \frac{- ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)})} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} - ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7

Réécrivez $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} - ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ comme ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} - ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.2

Réécrivez $(1 + u) (1 - u)$ comme ${({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} - {({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.3

Laissez $u = {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u - u^{2}}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.4

Factorisez $u$ à partir de $u - u^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.7.4.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

Étape 4.3.7.7.4.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u \cdot 1 - u^{2}}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.4.3

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u \cdot 1 + u (- u)}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.4.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.7.6.1

Développez $(1 + u) (1 - u)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.7.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.7.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.7.6.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.2.1.2

Multipliez $- u$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.2.1.3

Multipliez $u$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.2.1.5

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.7.7.6.2.1.5.1

Déplacez $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.2.1.5.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.2.2

Additionnez $- u$ et $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.7.7.6.3.1

Développez $(1 + u) (1 - u)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.7.7.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.7.7.6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.7.7.6.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3.2.1.2

Multipliez $- u$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3.2.1.3

Multipliez $u$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3.2.1.5

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.7.7.6.3.2.1.5.1

Déplacez $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3.2.1.5.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3.2.2

Additionnez $- u$ et $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.7.7.6.3.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.8

Multipliez $\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}$ par $\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) ({(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.9

Associez les exposants.

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Étape 4.3.9.1

Multipliez ${(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.9.1.1

Déplacez ${(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.9.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.9.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{2}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.9.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.9.2

Simplifiez ${(1 - u^{2})}^{1} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

Étape 4.3.10

Associez les exposants.

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Étape 4.3.10.1

Élevez $1 + u$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 + u) (1 - u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.10.2

Élevez $1 + u$ à la puissance $1$ .

Étape 4.3.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{1 + 1} (1 - u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} (1 - u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.10.5

Élevez $1 - u$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} ((1 - u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.10.6

Élevez $1 - u$ à la puissance $1$ .

Étape 4.3.10.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{1 + 1}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.10.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.11.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1^{2} - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.11.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + u) (1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.12

Factorisez $1 + u$ à partir de $(1 + u) (1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + u) (((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.13.1

Factorisez $1 + u$ à partir de ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + u) (((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.13.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.14

Factorisez $1 - u$ à partir de $((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u) ((1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.15.1

Factorisez $1 - u$ à partir de $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u) ((1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.15.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.15.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 4.3.16

Réécrivez $\sqrt{\frac{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}}$ comme $\frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 4.3.17

Associez.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} ((1 + u) (1 - u))}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 4.3.18

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.18.1

Élevez $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 4.3.18.2

Élevez $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 4.3.18.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Étape 4.3.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Étape 4.3.19

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.19.1

Réécrivez ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ comme $(1 + u) (1 - u)$ .

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Étape 4.3.19.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ comme ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.19.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.19.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.19.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.19.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.19.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

Étape 4.3.19.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

Étape 4.3.19.2

Développez $(1 + u) (1 - u)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.19.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 (1 - u) + u (1 - u)}$

Étape 4.3.19.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}$

Étape 4.3.19.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}$

Étape 4.3.19.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.19.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.19.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}$

Étape 4.3.19.3.1.2

Multipliez $- u$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}$

Étape 4.3.19.3.1.3

Multipliez $u$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u + u (- u)}$

Étape 4.3.19.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u - u \cdot u}$

Étape 4.3.19.3.1.5

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.19.3.1.5.1

Déplacez $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u - (u \cdot u)}$

Étape 4.3.19.3.1.5.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u - u^{2}}$

Étape 4.3.19.3.2

Additionnez $- u$ et $u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 + 0 - u^{2}}$

Étape 4.3.19.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u^{2}}$

Étape 4.3.19.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1^{2} - u^{2}}$

Étape 4.3.19.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = u$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

Étape 4.3.20

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.20.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

Étape 4.3.20.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 - u)}{1 - u}$

Étape 4.3.20.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 - u)}{1 - u}$

Étape 4.3.20.4

Divisez $\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (u)) = u$ et $f (f^{- 1} (u)) = u$ , $f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ est l’inverse de $f (u) = \cos (arccsc (u))$ .

$f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$