Trigonométrie Exemples

$f (x) = {2.3}^{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {2.3}^{x}$ comme une équation.

$y = {2.3}^{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {2.3}^{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${2.3}^{y} = x$ .

${2.3}^{y} = x$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({2.3}^{y}) = \ln (x)$

Étape 3.3

Développez $\ln ({2.3}^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (2.3) = \ln (x)$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $y \ln (2.3) = \ln (x)$ par $\ln (2.3)$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (2.3) = \ln (x)$ par $\ln (2.3)$ .

$\frac{y \ln (2.3)}{\ln (2.3)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2.3)$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (2.3)}{\ln (2.3)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$ est l’inverse de $f (x) = {2.3}^{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} \cdot {2.3}^{x}$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = \frac{\ln ({2.3}^{x})}{\ln (2.3)}$

Étape 5.2.3

Développez $\ln ({2.3}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = \frac{x \ln (2.3)}{\ln (2.3)}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $\ln (2.3)$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = \frac{x \ln (2.3)}{\ln (2.3)}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}) = {2.3}^{\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}}$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}) = {2.3}^{\log_{2.3} (x)}$

Étape 5.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$ est l’inverse de $f (x) = {2.3}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$