Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$ comme une équation.

$y = \frac{15}{5 x - 15}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{15}{5 y - 15}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{15}{5 y - 15} = x$ .

$\frac{15}{5 y - 15} = x$

Étape 3.2

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 y - 15$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 y$ .

$\frac{15}{5 (y) - 15} = x$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 15$ .

$\frac{15}{5 y + 5 \cdot - 3} = x$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 y + 5 \cdot - 3$ .

$\frac{15}{5 (y - 3)} = x$

Étape 3.2.2

Réduisez l’expression $\frac{15}{5 (y - 3)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5 (y - 3)} = x$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 3}{5 (y - 3)} = x$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{y - 3} = x$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y - 3, 1$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y - 3, 1$

Étape 3.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y - 3$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{3}{y - 3} = x$ par $y - 3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3}{y - 3} = x$ par $y - 3$ .

$\frac{3}{y - 3} (y - 3) = x (y - 3)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{y - 3} (y - 3) = x (y - 3)$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 = x (y - 3)$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 = x y + x \cdot - 3$

Étape 3.4.3.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$3 = x y - 3 x$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y - 3 x = 3$ .

$x y - 3 x = 3$

Étape 3.5.2

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y = 3 + 3 x$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $x y = 3 + 3 x$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $x y = 3 + 3 x$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Étape 3.5.3.3.1.2

Divisez $3$ par $1$ .

$y = \frac{3}{x} + 3$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$ est l’inverse de $f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{15}{5 x - 15}} + 3$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $15$ et $5 x - 15$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 x - 15}} + 3$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x) - 15}} + 3$

Étape 5.2.3.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 15$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x) + 5 (- 3)}} + 3$

Étape 5.2.3.1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (x) + 5 (- 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x - 3)}} + 3$

Étape 5.2.3.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x - 3)}} + 3$

Étape 5.2.3.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 3}} + 3$

Étape 5.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = 3 (\frac{x - 3}{3}) + 3$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = 3 (\frac{x - 3}{3}) + 3$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = x - 3 + 3$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 3 + 3$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{3}{x} + 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{15}{5 (\frac{3}{x} + 3) - 15}$

Étape 5.3.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $15$ et $5 (\frac{3}{x} + 3) - 15$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3) - 15}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 15$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3) + 5 (- 3)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $5 (\frac{3}{x} + 3) + 5 (- 3)$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3 - 3)}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3 - 3)}$

Étape 5.3.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3}{\frac{3}{x} + 3 - 3}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $\frac{3}{x} + 3 - 3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{\frac{3}{x} + 3 - 3}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3}{x}$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 \cdot 1}{3 (\frac{1}{x}) + 3 - 3}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{3 (\frac{1}{x}) + 3 \cdot 1 - 3}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{1}{x} + 3 \cdot 1$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{3 (\frac{1}{x} + 1) - 3}$

Étape 5.3.3.2.2.4

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 \cdot 1}{3 (\frac{1}{x} + 1) + 3 \cdot - 1}$

Étape 5.3.3.2.2.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (\frac{1}{x} + 1) + 3 (- 1)$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{3 (\frac{1}{x} + 1 - 1)}$

Étape 5.3.3.2.2.6

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 \cdot 1}{3 (\frac{1}{x} + 1 - 1)}$

Étape 5.3.3.2.2.7

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 1 - 1}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{3}{x} + 3) = 1 x$

Étape 5.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$ est l’inverse de $f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$