Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$ comme une équation.

$y = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) = x$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \arccos (y - 2) \cdot 3 = x \cdot 3$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arccos (y - 2)$ .

$\frac{\arccos (y - 2)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arccos (y - 2)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Étape 3.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\arccos (y - 2) = x \cdot 3$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\arccos (y - 2) = 3 x$

Étape 3.3

Prenez l’arc cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc cosinus.

$y - 2 = \cos (3 x)$

Étape 3.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \cos (3 x) + 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (3 (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2))) + 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arccos (x - 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (3 (\frac{\arccos (x - 2)}{3})) + 2$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (3 (\frac{\arccos (x - 2)}{3})) + 2$

Étape 5.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = \cos (\arccos (x - 2)) + 2$

Étape 5.2.3.3

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = x - 2 + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\cos (3 x) + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{1}{3} \cdot \arccos ((\cos (3 x) + 2) - 2)$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(\cos (3 x) + 2) - 2$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (\cos (3 x) + 0)$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\cos (3 x)$ et $0$ .

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (\cos (3 x))$

Étape 5.3.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arccos (\cos (3 x))$ .

$f (\cos (3 x) + 2) = \frac{\arccos (\cos (3 x))}{3}$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \arccos (x - 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \cos (3 x) + 2$