Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ comme une équation.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = 3 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\sqrt[3]{y - 7}}{3} = 3 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{y - 7} = 3 x$

Étape 3.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y - 7}}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y - 7}$ comme ${(y - 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 7)}^{1} = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

$y - 7 = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez ${(3 x)}^{3}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$y - 7 = 3^{3} x^{3}$

Étape 3.5.3.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y - 7 = 27 x^{3}$

Étape 3.6

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 27 x^{3} + 7$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 {(\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3})}^{3} + 7$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{\sqrt[3]{x - 7}}^{3}}{3^{3}}) + 7$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 7}}^{3}$ comme $x - 7$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 7}$ comme ${(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) + 7$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{(x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) + 7$

Étape 5.2.3.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{(x - 7)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) + 7$

Étape 5.2.3.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{{(x - 7)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) + 7$

Étape 5.2.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{3^{3}}) + 7$

Étape 5.2.3.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{3^{3}}) + 7$

Étape 5.2.3.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{27}) + 7$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = 27 (\frac{x - 7}{27}) + 7$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = x - 7 + 7$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 7 + 7$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (27 x^{3} + 7)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{(27 x^{3} + 7) - 7}}{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{27 x^{3} + 0}}{3}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $27 x^{3}$ et $0$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{27 x^{3}}}{3}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $27 x^{3}$ comme ${(3 x)}^{3}$ .

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{\sqrt[3]{{(3 x)}^{3}}}{3}$

Étape 5.3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (27 x^{3} + 7) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (27 x^{3} + 7) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 7}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 7$