Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{3 x - 7}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 7}$ comme une équation.

$y = \frac{2 x}{3 x - 7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y}{3 y - 7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $3 y - 7$ .

$(3 y - 7) (x) = (\frac{2 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x - 7 x = (\frac{2 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $3 y - 7$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 y x - 7 x = \frac{2 y}{3 y - 7} (3 y - 7)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y x - 7 x = 2 y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 y x - 7 x - 2 y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $7 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y x - 2 y = 7 x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $3 y x - 2 y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y x$ .

$y (3 x) - 2 y = 7 x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 2 = 7 x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (3 x) + y \cdot - 2$ .

$y (3 x - 2) = 7 x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (3 x - 2) = 7 x$ par $3 x - 2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (3 x - 2) = 7 x$ par $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{7 x}{3 x - 2}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{7 x}{3 x - 2}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{7 x}{3 x - 2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{3 x - 7})}{3 (\frac{2 x}{3 x - 7}) - 2}$

Étape 5.2.3

Associez $7$ et $\frac{2 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{3 (\frac{2 x}{3 x - 7}) - 2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $3 \frac{2 x}{3 x - 7}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Associez $3$ et $\frac{2 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{3 (2 x)}{3 x - 7} - 2}$

Étape 5.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{6 x}{3 x - 7} - 2}$

Étape 5.2.4.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{6 x}{3 x - 7} - 2 \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.3

Associez $- 2$ et $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{6 x}{3 x - 7} + \frac{- 2 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{6 x - 2 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5

Réécrivez $\frac{6 x - 2 (3 x - 7)}{3 x - 7}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x - 2 (3 x - 7)$ .

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Étape 5.2.4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (3 x - 7)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 7))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{2 (3 x - (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{2 (3 x - (3 x) + 7)}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{2 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{2 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.5

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{2 (0 + 7)}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.5.6

Additionnez $0$ et $7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{2 \cdot 7}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.4.6

Multipliez $2$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{3 x - 7}}{\frac{14}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.5

Multipliez $7$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{14 x}{3 x - 7}}{\frac{14}{3 x - 7}}$

Étape 5.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{14 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{14}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $14$ à partir de $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{14 (x)}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{14}$

Étape 5.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{14 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{14}$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $3 x - 7$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{7 x}{3 x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{7 x}{3 x - 2})}{3 (\frac{7 x}{3 x - 2}) - 7}$

Étape 5.3.3

Associez $2$ et $\frac{7 x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{7 x}{3 x - 2}) - 7}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $3 \frac{7 x}{3 x - 2}$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Associez $3$ et $\frac{7 x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{3 (7 x)}{3 x - 2} - 7}$

Étape 5.3.4.1.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{21 x}{3 x - 2} - 7}$

Étape 5.3.4.2

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{21 x}{3 x - 2} - 7 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.3

Associez $- 7$ et $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{21 x}{3 x - 2} + \frac{- 7 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{21 x - 7 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{21 x - 7 (3 x - 2)}{3 x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Factorisez $7$ à partir de $21 x - 7 (3 x - 2)$ .

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Étape 5.3.4.5.1.1

Factorisez $7$ à partir de $21 x$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{7 (3 x) - 7 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.1.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7 (3 x - 2)$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{7 (3 x) + 7 (- (3 x - 2))}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.1.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (3 x) + 7 (- (3 x - 2))$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{7 (3 x - (3 x - 2))}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{7 (3 x - (3 x) + 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.5

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{7 (0 + 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.6

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{7 \cdot 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.6

Multipliez $7$ par $2$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{3 x - 2}}{\frac{14}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{14 x}{3 x - 2}}{\frac{14}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{14 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{14}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $14$ à partir de $14 x$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{14 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{14}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{14 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{14}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $3 x - 2$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 x}{3 x - 2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 2}$