Trigonométrie Exemples

$f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$ comme une équation.

$y = - \frac{1}{5} x + 8$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{1}{5} y + 8$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{5} y + 8 = x$ .

$- \frac{1}{5} y + 8 = x$

Étape 3.2

Associez $y$ et $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{y}{5} + 8 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{5} = x - 8$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 5$ .

$- 5 (- \frac{y}{5}) = - 5 (x - 8)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $- 5 (- \frac{y}{5})$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{5}$ dans le numérateur.

$- 5 \frac{- y}{5} = - 5 (x - 8)$

Étape 3.5.1.1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- y}{5} = - 5 (x - 8)$

Étape 3.5.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot - 1 \frac{- y}{5} = - 5 (x - 8)$

Étape 3.5.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y = - 5 (x - 8)$

Étape 3.5.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.5.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 5 (x - 8)$

Étape 3.5.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 5 (x - 8)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $- 5 (x - 8)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 5 x - 5 \cdot - 8$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 8$ .

$y = - 5 x + 40$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 (- \frac{1}{5} x + 8) + 40$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 (- \frac{x}{5} + 8) + 40$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 (- \frac{x}{5}) - 5 \cdot 8 + 40$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{5}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 5 \frac{- x}{5} - 5 \cdot 8 + 40$

Étape 5.2.3.3.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = 5 (- 1) (\frac{- x}{5}) - 5 \cdot 8 + 40$

Étape 5.2.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = 5 \cdot (- 1 \frac{- x}{5}) - 5 \cdot 8 + 40$

Étape 5.2.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = - 1 (- x) - 5 \cdot 8 + 40$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = 1 x - 5 \cdot 8 + 40$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x - 5 \cdot 8 + 40$

Étape 5.2.3.6

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x - 40 + 40$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 40 + 40$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 40$ et $40$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} x + 8) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- 5 x + 40)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- 5 x + 40) = - \frac{1}{5} \cdot (- 5 x + 40) + 8$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 5 x + 40) = - \frac{1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{5}$ dans le numérateur.

$f (- 5 x + 40) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$f (- 5 x + 40) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Étape 5.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 5 x + 40) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Étape 5.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 5 x + 40) = - 1 (- x) - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 5 x + 40) = 1 x - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- 5 x + 40) = x - \frac{1}{5} \cdot 40 + 8$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{5}$ dans le numérateur.

$f (- 5 x + 40) = x + \frac{- 1}{5} \cdot 40 + 8$

Étape 5.3.3.5.2

Factorisez $5$ à partir de $40$ .

$f (- 5 x + 40) = x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (8)) + 8$

Étape 5.3.3.5.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 5 x + 40) = x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 8) + 8$

Étape 5.3.3.5.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 5 x + 40) = x - 1 \cdot 8 + 8$

Étape 5.3.3.6

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (- 5 x + 40) = x - 8 + 8$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 8 + 8$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f (- 5 x + 40) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- 5 x + 40) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{1}{5} x + 8$ .

$f^{- 1} (x) = - 5 x + 40$