Trigonométrie Exemples

$f (x) x^{2} + 2 x - 1$

Étape 1

Interchangez les variables.

$f = y (x) x^{2} + 2 x - 1$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $y x \cdot x^{2} + 2 x - 1 = f$ .

$y x \cdot x^{2} + 2 x - 1 = f$

Étape 2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y (x^{2} x) + 2 x - 1 = f$

Étape 2.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y (x^{2} x^{1}) + 2 x - 1 = f$

Étape 2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y x^{2 + 1} + 2 x - 1 = f$

Étape 2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y x^{3} + 2 x - 1 = f$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$y x^{3} - 1 = f - 2 x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y x^{3} = f - 2 x + 1$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $y x^{3} = f - 2 x + 1$ par $x^{3}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $y x^{3} = f - 2 x + 1$ par $x^{3}$ .

$\frac{y x^{3}}{x^{3}} = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x^{3}}{x^{3}} = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (f)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ est l’inverse de $f (f) = f (x) x^{2} + 2 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (f)) = f$ et $f (f^{- 1} (f)) = f$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (f))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (f))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1 + 1}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.2

Associez les termes opposés dans $f (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1 + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x + 0}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $f (x) \cdot x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x) \cdot x^{2} + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x) x^{2} + 2 x$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x^{2} f (x) + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} f (x) + 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} f (x)$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x)) + 2 x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x)) + x \cdot 2}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x f (x)) + x \cdot 2$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (x f (x) + 2)}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}$

Étape 4.2.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 2 - 2}{x^{2}}$

Étape 4.2.5.2

Associez les termes opposés dans $x f (x) + 2 - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x) + 0}{x^{2}}$

Étape 4.2.5.2.2

Additionnez $x f (x)$ et $0$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x)}{x^{2}}$

Étape 4.2.5.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x f (x)$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (f (x))}{x^{2}}$

Étape 4.2.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x (f (x))}{x \cdot x}$

Étape 4.2.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{x f (x)}{x \cdot x}$

Étape 4.2.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} + 2 x - 1) = \frac{f (x)}{x}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (f))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (f))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x) \cdot x^{2} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x^{2} x) + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) (x^{2} x) + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) x^{2 + 1} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) x^{3} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = \frac{f}{x^{3}} \cdot x^{3} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = \frac{f}{x^{3}} \cdot x^{3} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.3.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot (x^{2} x) + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + \frac{- 2}{x^{2}} \cdot (x^{2} x) + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.3.3

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3} + 2 x - 1$

Étape 4.3.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f - 2 x + 1 + 2 x - 1$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $f - 2 x + 1 + 2 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 0 + 1 - 1$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $f$ et $0$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 1 - 1$

Étape 4.3.4.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f + 0$

Étape 4.3.4.4

Additionnez $f$ et $0$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = f$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (f)) = f$ et $f (f^{- 1} (f)) = f$ , $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ est l’inverse de $f (f) = f (x) x^{2} + 2 x - 1$ .

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$