Trigonométrie Exemples

$f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 1

Écrivez $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ comme une équation.

$y = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 2

Interchangez les variables.

$t = 40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$ .

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$

Étape 3.2

Soustrayez $55$ des deux côtés de l’équation.

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ par $40$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ par $40$ .

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $40$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})$ par $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 55$ et $40$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 55$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 (- 11)}{40}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $40$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Étape 3.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Étape 3.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 11}{8}$

Étape 3.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} - \frac{11}{8}$

Étape 3.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Étape 3.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1

Associez $\frac{5 π}{4}$ et $y$ .

$\frac{5 π y}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Étape 3.6

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Étape 3.7

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.8

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.1.1

Simplifiez $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

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Étape 3.8.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.8.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.8.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.8.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5 π$ .

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Étape 3.8.1.1.2.1

Factorisez $5 π$ à partir de $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.8.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.8.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.2.1

Simplifiez $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

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Étape 3.8.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 3.8.2.1.2

Associez $\frac{4}{5 π}$ et $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 3.8.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 3.8.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 3.8.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Étape 3.8.2.1.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.8.2.1.4.1

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Étape 3.8.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Étape 3.8.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Étape 3.9

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Étape 3.10

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.11

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.11.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.11.1.1

Simplifiez $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

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Étape 3.11.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.11.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.11.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.11.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5 π$ .

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Étape 3.11.1.1.2.1

Factorisez $5 π$ à partir de $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.11.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.11.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 3.11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.11.2.1

Simplifiez $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

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Étape 3.11.2.1.1

Pour écrire $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 3.11.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.11.2.1.2.1

Associez $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 3.11.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Étape 3.11.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.11.2.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Étape 3.11.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Étape 3.11.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π)$

Étape 3.11.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + π)$

Étape 3.11.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})) + \frac{2}{5 π} π$

Étape 3.11.2.1.5

Multipliez $\frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}))$ .

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Étape 3.11.2.1.5.1

Associez $2$ et $\frac{2}{5 π}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Étape 3.11.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Étape 3.11.2.1.5.3

Associez $\frac{4}{5 π}$ et $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Étape 3.11.2.1.6

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.11.2.1.6.1

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Étape 3.11.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Étape 3.11.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Étape 3.11.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.2.1.7.1

Pour écrire $- \frac{11}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8} \cdot \frac{5}{5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Étape 3.11.2.1.7.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $40$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.11.2.1.7.2.1

Multipliez $\frac{11}{8}$ par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Étape 3.11.2.1.7.2.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Étape 3.11.2.1.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Étape 3.11.2.1.7.4

Multipliez $- 11$ par $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Étape 3.11.2.1.8

Pour écrire $\frac{2}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5} \cdot \frac{π}{π}$

Étape 3.11.2.1.9

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2 π}{5 π}$

Étape 3.11.2.1.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π}{5 π}$

Étape 3.11.2.1.11

Factorisez $2$ à partir de $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π$ .

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Étape 3.11.2.1.11.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 π}{5 π}$

Étape 3.11.2.1.11.2

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)}{5 π}$

Étape 3.11.2.1.11.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (t)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ est l’inverse de $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (t)) = t$ et $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (t))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (t))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun à $(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55$ et $40$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 55 - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $5$ à partir de $55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.3.4

Factorisez $5$ à partir de $- 55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.3.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.6.1

Factorisez $5$ à partir de $40$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 (8)}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 \cdot 8}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Associez $\frac{5 π}{4}$ et $t$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $11$ de $11$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 0}{8}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.4.3

Additionnez $8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ et $0$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ par $1$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})) + π)}{5 π}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (t))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (t))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $5 π$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{4} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π) - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (\frac{t - 55}{40}))) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.6

Pour écrire $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.7

Associez $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2 + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.3

Associez les termes opposés dans $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 0}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.3.2

Additionnez $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ et $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Étape 5.3.3.4.2

Divisez $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ par $1$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 55$

Étape 5.3.3.5

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun de $40$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Étape 5.3.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t - 55 + 55$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $t - 55 + 55$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 55$ et $55$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $t$ et $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (t)) = t$ et $f (f^{- 1} (t)) = t$ , $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ est l’inverse de $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$