Trigonométrie Exemples

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$

Étape 1

Écrivez $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ comme une équation.

$y = 3 e^{0.1 t}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$t = 3 e^{0.1 y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 e^{0.1 y} = t$ .

$3 e^{0.1 y} = t$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $3 e^{0.1 y} = t$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 e^{0.1 y} = t$ par $3$ .

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $e^{0.1 y}$ par $1$ .

$e^{0.1 y} = \frac{t}{3}$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{0.1 y}) = \ln (\frac{t}{3})$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{0.1 y})$ en déplaçant $0.1 y$ hors du logarithme.

$0.1 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{3})$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$0.1 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{3})$

Étape 3.4.3

Multipliez $0.1$ par $1$ .

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ par $0.1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ par $0.1$ .

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $0.1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1 (1)}$

Étape 3.5.3.3

Séparez les fractions.

$y = \frac{1}{0.1} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Étape 3.5.3.4

Divisez $1$ par $0.1$ .

$y = 10 \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Étape 3.5.3.5

Divisez $\ln (\frac{t}{3})$ par $1$ .

$y = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ est l’inverse de $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (t)) = t$ et $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (t))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (t))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 e^{0.1 t})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Étape 5.2.3.2

Divisez $e^{0.1 t}$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (e^{0.1 t})$

Étape 5.2.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $0.1 t$ de l’exposant.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \ln (e))$

Étape 5.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \cdot 1)$

Étape 5.2.6

Multipliez $0.1$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t)$

Étape 5.2.7

Multipliez $10 (0.1 t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

Multipliez $0.1$ par $10$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 1 t$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = t$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (t))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (t))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (10 \ln (\frac{t}{3}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 (10 \ln (\frac{t}{3}))}$

Étape 5.3.3

Simplifiez $10 \ln (\frac{t}{3})$ en déplaçant $10$ dans le logarithme.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})$ en déplaçant $0.1$ dans le logarithme.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{\ln ({({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1})}$

Étape 5.3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$

Étape 5.3.6

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {(\frac{t}{3})}^{10 \cdot 0.1}$

Étape 5.3.6.2

Multipliez $10$ par $0.1$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = t$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (t)) = t$ et $f (f^{- 1} (t)) = t$ , $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ est l’inverse de $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$