Trigonométrie Exemples

$f (t) = - 16 t^{2} + 220$

Étape 1

Écrivez $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ comme une équation.

$y = - 16 t^{2} + 220$

Étape 2

Interchangez les variables.

$t = - 16 y^{2} + 220$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 16 y^{2} + 220 = t$ .

$- 16 y^{2} + 220 = t$

Étape 3.2

Soustrayez $220$ des deux côtés de l’équation.

$- 16 y^{2} = t - 220$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 16 y^{2} = t - 220$ par $- 16$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 16 y^{2} = t - 220$ par $- 16$ .

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 16$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 220}{- 16}$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 220$ et $- 16$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 220$ .

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 (55)}{- 16}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.2.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 16$ .

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

Étape 3.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

Étape 3.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{55}{4}$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$ .

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Étape 3.5.1

Pour écrire $\frac{55}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 3.5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $\frac{55}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{4 \cdot 4}}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{16}}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 55 \cdot 4}{16}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $55$ par $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 220}{16}}$

Étape 3.5.5

Réécrivez $\frac{- t + 220}{16}$ comme ${(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)$ .

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Étape 3.5.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $- t + 220$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{16}}$

Étape 3.5.5.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.5.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)}$

Étape 3.5.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{4} \sqrt{- t + 220}$

Étape 3.5.7

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{- t + 220}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ est l’inverse de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ et $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 220]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- t + 220}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- t + 220 \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $t$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $220$ des deux côtés de l’inégalité.

$- t \geq - 220$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- t \geq - 220$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- t \geq - 220$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t \leq \frac{- 220}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Divisez $- 220$ par $- 1$ .

$t \leq 220$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $t$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 220]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ se trouve sur la plage de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ et comme la plage de $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ est le domaine de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ , $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ est l’inverse de $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

Étape 6