Trigonométrie Exemples

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$ .

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$

Étape 2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})$ de l’intérieur de la cotangente.

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)$

Étape 2.3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$\sqrt{\frac{2}{y}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Simplifiez $\sqrt{\frac{2}{y}}$ .

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Étape 2.4.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{y}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 2.4.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{1}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.3.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(x, 1)$ , $(x, 0)$ , et l’origine. Alors $arccot (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(x, 1)$ . Ainsi, $\tan (arccot (x))$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \frac{1}{x}$

Étape 2.6

Réalisez le produit en croix.

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Étape 2.6.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$1 \cdot (y) = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Multipliez $\sqrt{2 y}$ par $x$ .

$y = \sqrt{2 y} x$

Étape 2.7

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2 y} x = y$ .

$\sqrt{2 y} x = y$

Étape 2.8

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\sqrt{2 y} x)}^{2} = y^{2}$

Étape 2.9

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y}$ comme ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.9.2.1

Simplifiez ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2}$ .

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Étape 2.9.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.9.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.9.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2.1.4

Évaluez l’exposant.

$2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2.1.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.9.2.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.2.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 y^{1} x^{2} = y^{2}$

Étape 2.9.2.1.6

Simplifiez

$2 y x^{2} = y^{2}$

Étape 2.10

Résolvez $y$ .

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Étape 2.10.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y x^{2} - y^{2} = 0$

Étape 2.10.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y x^{2} - y^{2}$ .

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Étape 2.10.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y x^{2}$ .

$y (2 x^{2}) - y^{2} = 0$

Étape 2.10.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y (2 x^{2}) + y (- y) = 0$

Étape 2.10.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 x^{2}) + y (- y)$ .

$y (2 x^{2} - y) = 0$

Étape 2.10.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$2 x^{2} - y = 0$

Étape 2.10.4

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 2.10.5

Définissez $2 x^{2} - y$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.10.5.1

Définissez $2 x^{2} - y$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - y = 0$

Étape 2.10.5.2

Résolvez $2 x^{2} - y = 0$ pour $y$ .

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Étape 2.10.5.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y = - 2 x^{2}$

Étape 2.10.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- y = - 2 x^{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.10.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = - 2 x^{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Étape 2.10.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.10.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Étape 2.10.5.2.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Étape 2.10.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.10.5.2.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (- 2 x^{2})$

Étape 2.10.5.2.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ comme $- (- 2 x^{2})$ .

$y = - (- 2 x^{2})$

Étape 2.10.5.2.2.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = 2 x^{2}$

Étape 2.10.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y (2 x^{2} - y) = 0$ vraie.

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ est l’inverse de $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ et $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez le domaine de $0$ .

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Étape 4.2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.3

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ , $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 5