Trigonométrie Exemples

$\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}))$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$ .

$\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$

Étape 2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ de l’intérieur de la cotangente.

$\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) = arccot (x)$

Étape 2.3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$\frac{y}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Simplifiez $\frac{y}{\sqrt{3}}$ .

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.4.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{1}} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.4.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \tan (arccot (x))$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(x, 1)$ , $(x, 0)$ , et l’origine. Alors $arccot (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(x, 1)$ . Ainsi, $\tan (arccot (x))$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{x}$

Étape 2.6

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.1.1

Simplifiez $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 2.7.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.7.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (y \sqrt{3}) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.1.1.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 2.7.1.1.2.1

Factorisez $\sqrt{3}$ à partir de $y \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.2.1

Simplifiez $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.7.2.1.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.7.2.1.2.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.7.2.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.2.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.7.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.3.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$y = \sqrt{3} \frac{1}{x}$

Étape 2.7.2.1.4

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ est l’inverse de $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}})))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Étape 4.2.3

Séparez les fractions.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ en termes de sinus et de cosinus.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}}$

Étape 4.2.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Étape 4.2.6

Convertissez de $\frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ à $\tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Étape 4.2.7

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Étape 4.2.8

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Étape 4.2.9

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 4.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Étape 4.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt{3}}{x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$

Étape 4.3.3

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ . Ainsi, $\cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$ est $\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$

Étape 4.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = 1 (\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}})$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$

Étape 4.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 4.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ est l’inverse de $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$