Trigonométrie Exemples

$\cos (x - y)$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$x - y = \arccos (0)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x - y = \frac{π}{2}$

Étape 3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \frac{π}{2} - x$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- y = \frac{π}{2} - x$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \frac{π}{2} - x$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{π}{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{π}{2}$ comme $- \frac{π}{2}$ .

$y = - \frac{π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 4.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{π}{2} + \frac{x}{1}$

Étape 4.3.1.4

Divisez $x$ par $1$ .

$y = - \frac{π}{2} + x$

Étape 5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x - y = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x - y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x - y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x - y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x - y = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x - y = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \frac{3 π}{2} - x$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- y = \frac{3 π}{2} - x$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- y = \frac{3 π}{2} - x$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 6.3.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{3 π}{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{3 π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 6.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{3 π}{2}$ comme $- \frac{3 π}{2}$ .

$y = - \frac{3 π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 6.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{3 π}{2} + \frac{x}{1}$

Étape 6.3.3.1.4

Divisez $x$ par $1$ .

$y = - \frac{3 π}{2} + x$

Étape 7

Interchangez les variables.

$x = - \frac{3 π}{2} + y$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{3 π}{2} + y = x$ .

$- \frac{3 π}{2} + y = x$

Étape 8.2

Ajoutez $\frac{3 π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x + \frac{3 π}{2}$

Étape 9

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$

Étape 10

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{3 π}{2} + x$ .

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Étape 10.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 10.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 10.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 10.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = (- \frac{3 π}{2} + x) + \frac{3 π}{2}$

Étape 10.2.3

Associez les termes opposés dans $(- \frac{3 π}{2} + x) + \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 10.2.3.1

Additionnez $- \frac{3 π}{2}$ et $\frac{3 π}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = x + 0$

Étape 10.2.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = x$

Étape 10.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 10.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 10.3.2

Évaluez $f (x + \frac{3 π}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x + \frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$

Étape 10.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x + \frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$

Étape 10.3.4

Associez les termes opposés dans $- \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 10.3.4.1

Additionnez $- \frac{3 π}{2}$ et $\frac{3 π}{2}$ .

$f (x + \frac{3 π}{2}) = x + 0$

Étape 10.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x + \frac{3 π}{2}) = x$

Étape 10.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{3 π}{2} + x$ .

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$