Trigonométrie Exemples

$\cos (4 x) - \sin (4 x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \cos (4 y) - \sin (4 y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$ .

$\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$

Étape 2.2

Utilisez l’identité pour résoudre l’équation. Dans cette identité, $θ$ représente l’angle créé en reportant le point $(a, b)$ sur un graphe et peut donc être trouvé en utilisant $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ où $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et $θ = \arctan (\frac{b}{a})$

Étape 2.3

Définissez l’équation pour déterminer la valeur de $θ$ .

$\arctan (\frac{1}{- 1})$

Étape 2.4

Prenez la tangente inverse pour résoudre l’équation pour $θ$ .

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Étape 2.4.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$θ = \arctan (- 1)$

Étape 2.4.2

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 2.5

Résolvez pour déterminer la valeur de $R$ .

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Étape 2.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Étape 2.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$R = \sqrt{1 + 1}$

Étape 2.5.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$(\sqrt{2}) \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$

Étape 2.7

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ par $\sqrt{2}$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ par $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 2.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Étape 2.7.2.1.2

Divisez $\sin (4 y - \frac{π}{4})$ par $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.3.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.7.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.7.3.2.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.7.3.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.7.3.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.7.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.7.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.7.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.7.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.7.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.7.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.7.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.7.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.7.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.8

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$4 y - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})$

Étape 2.9

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$

Étape 2.10

Divisez chaque terme dans $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.10.1

Divisez chaque terme dans $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 2.10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.10.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 2.10.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 2.10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.10.3.1.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.10.3.1.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4 \cdot 4}$

Étape 2.10.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ est l’inverse de $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Étape 4.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ .

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2} (\cos (4 x) - \sin (4 x))}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Étape 4.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Étape 4.3.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Étape 4.3.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Étape 4.3.3.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.6.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)}))$

Étape 4.3.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4}))$

Étape 4.3.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4})$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ est l’inverse de $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$