Trigonométrie Exemples

$f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ comme une équation.

$y = - \frac{5}{2} x + 10$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{5}{2} y + 10$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{5}{2} y + 10 = x$ .

$- \frac{5}{2} y + 10 = x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $y$ et $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{y \cdot 5}{2} + 10 = x$

Étape 3.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $y$ .

$- \frac{5 y}{2} + 10 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{5 y}{2} = x - 10$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5} (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $- \frac{2}{5} (- \frac{5 y}{2})$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{5} (- \frac{5 y}{2}) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 y}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{2} = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 y$ .

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.5.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{2}{5} (x - 10)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $- \frac{2}{5} (x - 10)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 10$

Étape 3.5.2.1.1.2

Associez $x$ et $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 10$

Étape 3.5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.2.1.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{5}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 10$

Étape 3.5.2.1.1.3.2

Factorisez $5$ à partir de $- 10$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 2))$

Étape 3.5.2.1.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 2)$

Étape 3.5.2.1.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.5.2.1.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 4$

Étape 3.5.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{5}{2} x + 10)}{5} + 4$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Associez $x$ et $\frac{5}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{x \cdot 5}{2} + 10)}{5} + 4$

Étape 5.2.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (- \frac{5 \cdot x}{2} + 10)}{5} + 4$

Étape 5.2.3.1.3

Factorisez $5$ à partir de $- \frac{5 x}{2} + 10$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Factorisez $5$ à partir de $- \frac{5 x}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2}) + 10)}{5} + 4$

Étape 5.2.3.1.3.2

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2}) + 5 (2))}{5} + 4$

Étape 5.2.3.1.3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- \frac{x}{2}) + 5 (2)$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 (5 (- \frac{x}{2} + 2))}{5} + 4$

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{2 \cdot (5 (- \frac{x}{2} + 2))}{5} + 4$

Étape 5.2.3.1.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + 2)}{5} + 4$

Étape 5.2.3.1.5

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{5} + 4$

Étape 5.2.3.1.6

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (- \frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{5} + 4$

Étape 5.2.3.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (\frac{- x + 2 \cdot 2}{2})}{5} + 4$

Étape 5.2.3.1.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{10 (\frac{- x + 4}{2})}{5} + 4$

Étape 5.2.3.2

Associez $10$ et $\frac{- x + 4}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{10 (- x + 4)}{2}}{5} + 4$

Étape 5.2.3.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1

Réduisez l’expression $\frac{10 (- x + 4)}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (- x + 4)$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2}}{5} + 4$

Étape 5.2.3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2 (1)}}{5} + 4$

Étape 5.2.3.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{2 (5 (- x + 4))}{2 \cdot 1}}{5} + 4$

Étape 5.2.3.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{\frac{5 (- x + 4)}{1}}{5} + 4$

Étape 5.2.3.3.2

Divisez $5 (- x + 4)$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{5 (- x + 4)}{5} + 4$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - \frac{5 (- x + 4)}{5} + 4$

Étape 5.2.3.4.2

Divisez $- x + 4$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = - (- x + 4) + 4$

Étape 5.2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 1 \cdot 4 + 4$

Étape 5.2.3.6

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = 1 x - 1 \cdot 4 + 4$

Étape 5.2.3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 1 \cdot 4 + 4$

Étape 5.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x - 4 + 4$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 4 + 4$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{5}{2} x + 10) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{2 x}{5} + 4)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5} + 4) + 10$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5}) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 5}{2} \cdot (- \frac{2 x}{5}) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 x}{5}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 5}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{5} - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = - 1 (- x) - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = 1 x - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - \frac{5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot 4 + 10$

Étape 5.3.3.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (2)) + 10$

Étape 5.3.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 10$

Étape 5.3.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - 5 \cdot 2 + 10$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x - 10 + 10$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 10 + 10$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{2 x}{5} + 4) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{5}{2} x + 10$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{5} + 4$