Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{5}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ comme une équation.

$y = \frac{5}{x^{2}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{5}{y^{2}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5}{y^{2}} = x$ .

$\frac{5}{y^{2}} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{2}, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{2}$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{5}{y^{2}} = x$ par $y^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{5}{y^{2}} = x$ par $y^{2}$ .

$\frac{5}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 = x y^{2}$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $x y^{2} = 5$ .

$x y^{2} = 5$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $x y^{2} = 5$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $x y^{2} = 5$ par $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{5}{x}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{5}{x}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{5}{x}$

Étape 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{5}{x}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5}{x}}$ .

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 3.4.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 3.4.4.3.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Étape 3.4.4.3.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Étape 3.4.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 3.4.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 3.4.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Étape 3.4.4.3.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x}$

Étape 3.4.4.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Étape 3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Étape 3.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Étape 3.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{x}, - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{x}, - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{x}, - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{5 x}}{x}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 x \geq 0$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $5 x \geq 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x \geq 0$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$x \geq 0$

Étape 5.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{5 x}}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 5.3.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ .

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Étape 5.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{x}, - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{x}, - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$ est le domaine de $f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{x}, - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{x}, - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Étape 6