Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ comme une équation.

$y = \frac{4}{x - 2} + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{4}{y - 2} + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4}{y - 2} + 1 = x$ .

$\frac{4}{y - 2} + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4}{y - 2} = x - 1$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y - 2, 1, 1$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y - 2, 1, 1$

Étape 3.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y - 2$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{y - 2} = x - 1$ par $y - 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{y - 2} = x - 1$ par $y - 2$ .

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 = x (y - 2) - (y - 2)$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 = x y + x \cdot - 2 - (y - 2)$

Étape 3.4.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$4 = x y - 2 \cdot x - (y - 2)$

Étape 3.4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 = x y - 2 x - y - - 2$

Étape 3.4.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$4 = x y - 2 x - y + 2$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y - 2 x - y + 2 = 4$ .

$x y - 2 x - y + 2 = 4$

Étape 3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y - y + 2 = 4 + 2 x$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x y - y = 4 + 2 x - 2$

Étape 3.5.2.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$x y - y = 2 x + 2$

Étape 3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $x y - y$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x - y = 2 x + 2$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = 2 x + 2$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 x + 2$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 2 x + 2$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 2 x + 2$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

Étape 3.5.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 3.5.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 2}{x - 1}$

Étape 3.5.4.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x - 1}$

Étape 3.5.4.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 ((\frac{4}{x - 2} + 1) + 1)}{(\frac{4}{x - 2} + 1) - 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Étape 5.2.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Étape 5.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2 + x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Étape 5.2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Étape 5.2.3.6

Réécrivez $\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.3.6.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Étape 5.2.3.6.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Étape 5.2.3.6.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 0}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Étape 5.2.3.6.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} - 1}$

Étape 5.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1}$

Étape 5.2.4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Étape 5.2.4.4

Associez $- 1$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.2.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.2.4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.2.4.7

Réécrivez $\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

Étape 5.2.4.7.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

Étape 5.2.4.7.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{0 + 4 - 2 + 2}{x - 2}}$

Étape 5.2.4.7.4

Additionnez $0$ et $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 - 2 + 2}{x - 2}}$

Étape 5.2.4.7.5

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{2 + 2}{x - 2}}$

Étape 5.2.4.7.6

Additionnez $2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2}}$

Étape 5.2.5

Associez $2$ et $\frac{2 x}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{2 (2 x)}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

Étape 5.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{4 x}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

Étape 5.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.8.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

Étape 5.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

Étape 5.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 5.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 5.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{4}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) - 2} + 1$

Étape 5.3.3.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) + 2 \cdot - 1} + 1$

Étape 5.3.3.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{x + 1}{x - 1} + 2 (- 1)$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

Étape 5.3.3.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

Étape 5.3.3.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1} + 1$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

Étape 5.3.3.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Étape 5.3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Étape 5.3.3.2.4

Réécrivez $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Étape 5.3.3.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Étape 5.3.3.2.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

Étape 5.3.3.2.4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

Étape 5.3.3.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

Étape 5.3.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$