Trigonométrie Exemples

$f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$ comme une équation.

$y = - \frac{3}{8} x^{7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{3}{8} y^{7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{3}{8} y^{7} = x$ .

$- \frac{3}{8} y^{7} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} y^{7}) = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez $- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} y^{7})$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Associez $y^{7}$ et $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{y^{7} \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 8}{3} (- \frac{y^{7} \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.1.1.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{7} \cdot 3}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{- 8}{3} \cdot \frac{- y^{7} \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.1.1.2.3

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$\frac{8 (- 1)}{3} \cdot \frac{- y^{7} \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- y^{7} \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3} (- y^{7} \cdot 3) = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- y^{7} \cdot 3$ .

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- y^{7})) = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- y^{7})) = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- - y^{7} = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.1.1.4

Multipliez.

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Étape 3.3.1.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{7} = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.1.1.4.2

Multipliez $y^{7}$ par $1$ .

$y^{7} = - \frac{8}{3} x$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez $- \frac{8}{3} x$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Associez $x$ et $\frac{8}{3}$ .

$y^{7} = - \frac{x \cdot 8}{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$y^{7} = - \frac{8 x}{3}$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[7]{- \frac{8 x}{3}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt[7]{- \frac{8 x}{3}}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez $- \frac{8 x}{3}$ comme ${({(- 1)}^{7})}^{7} \frac{8 x}{3}$ .

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Étape 3.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{7}$ .

$y = \sqrt[7]{{(- 1)}^{7} \frac{8 x}{3}}$

Étape 3.5.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{7}$ .

$y = \sqrt[7]{{({(- 1)}^{7})}^{7} \frac{8 x}{3}}$

Étape 3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = {(- 1)}^{7} \sqrt[7]{\frac{8 x}{3}}$

Étape 3.5.3

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$y = - \sqrt[7]{\frac{8 x}{3}}$

Étape 3.5.4

Réécrivez $\sqrt[7]{\frac{8 x}{3}}$ comme $\frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{8 (- \frac{3}{8} x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- 8 (\frac{3}{8} x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.2

Associez $\frac{3}{8}$ et $- 8$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{3 \cdot - 8}{8} x^{7}}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{3 \cdot - 8}{8}$ et $x^{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{3 \cdot (- 8 x^{7})}{8}}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.4.1

Réduisez l’expression $\frac{3 \cdot - 8 x^{7}}{8}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.4.1.1

Factorisez $8$ à partir de $3 \cdot - 8 x^{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{8 (3 \cdot (- 1 x^{7}))}{8}}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.4.1.2

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{8 (3 \cdot (- 1 x^{7}))}{8 (1)}}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{8 (3 \cdot (- 1 x^{7}))}{8 \cdot 1}}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{\frac{3 \cdot (- 1 x^{7})}{1}}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.4.2

Divisez $3 \cdot - 1 x^{7}$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{3 \cdot (- 1 x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.5

Associez les exposants.

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Étape 5.2.3.5.1

Factorisez le signe négatif.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- (3 x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- 3 x^{7}}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.6

Réécrivez $- 3 x^{7}$ comme ${(- x)}^{7} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.3.6.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{- 1 \cdot 3 x^{7}}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.6.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{{(- 1)}^{7} \cdot (3 x^{7})}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.6.3

Déplacez $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{{(- 1)}^{7} x^{7} \cdot 3}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.6.4

Réécrivez ${(- 1)}^{7} x^{7}$ comme ${(- x)}^{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{\sqrt[7]{{(- x)}^{7} \cdot 3}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.3.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{- x \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $\sqrt[7]{3}$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = - \frac{- x \sqrt[7]{3}}{\sqrt[7]{3}}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $- x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{8} x^{7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = - \frac{3}{8} \cdot {(- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}})}^{7}$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = - \frac{3}{8} \cdot ({(- 1)}^{7} {(\frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}})}^{7})$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = - \frac{3}{8} \cdot ({(- 1)}^{7} (\frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}))$

Étape 5.3.4

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.1

Déplacez ${(- 1)}^{7}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{7} \cdot (- 1 (\frac{3}{8})) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez ${(- 1)}^{7}$ par $- 1$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{7} \cdot ((- 1) (\frac{3}{8})) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Étape 5.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{7 + 1} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Étape 5.3.4.3

Additionnez $7$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{\sqrt[7]{8 x}}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Étape 5.3.5

Réécrivez ${\sqrt[7]{8 x}}^{7}$ comme $8 x$ .

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Étape 5.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{8 x}$ comme ${(8 x)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{({(8 x)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Étape 5.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{(8 x)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Étape 5.3.5.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{(8 x)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Étape 5.3.5.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{{(8 x)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Étape 5.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Étape 5.3.5.5

Simplifiez

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{{\sqrt[7]{3}}^{7}}$

Étape 5.3.6

Réécrivez ${\sqrt[7]{3}}^{7}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{3}$ comme $3^{\frac{1}{7}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{{(3^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Étape 5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Étape 5.3.6.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3^{\frac{7}{7}}}$

Étape 5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3^{\frac{7}{7}}}$

Étape 5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3}$

Étape 5.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = {(- 1)}^{8} (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3}$

Étape 5.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.7.1

Élevez $- 1$ à la puissance $8$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = 1 (\frac{3}{8}) \cdot \frac{8 x}{3}$

Étape 5.3.7.2

Multipliez $\frac{3}{8}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{8 x}{3}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{8 x}{3}$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{1}{8} \cdot (8 x)$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.9.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{1}{8} \cdot (8 (x))$

Étape 5.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = \frac{1}{8} \cdot (8 x)$

Étape 5.3.9.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{3}{8} x^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[7]{8 x}}{\sqrt[7]{3}}$