Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{3}{5} x + 3$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{3}{5} x + 3$ comme une équation.

$y = \frac{3}{5} x + 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{3}{5} y + 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3}{5} y + 3 = x$ .

$\frac{3}{5} y + 3 = x$

Étape 3.2

Associez $\frac{3}{5}$ et $y$ .

$\frac{3 y}{5} + 3 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 y}{5} = x - 3$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} (x - 3)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5}$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} (x - 3)$

Étape 3.5.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{5}{3} (x - 3)$

Étape 3.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{5}{3} (x - 3)$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{5}{3} (x - 3)$

Étape 3.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5}{3} (x - 3)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $\frac{5}{3} (x - 3)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 3$

Étape 3.5.2.1.2

Associez $\frac{5}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 3$

Étape 3.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot (3 (- 1))$

Étape 3.5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 3.5.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5 x}{3} + 5 \cdot - 1$

Étape 3.5.2.1.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{3} - 5$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 5$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 5$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3}{5} x + 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{5 (\frac{3}{5} x + 3)}{3} - 5$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{5 (\frac{3 x}{5} + 3)}{3} - 5$

Étape 5.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x}{5} + 3$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{5 (3 (\frac{x}{5}) + 3)}{3} - 5$

Étape 5.2.3.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{5 (3 (\frac{x}{5}) + 3 (1))}{3} - 5$

Étape 5.2.3.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{x}{5} + 3 (1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{5 (3 (\frac{x}{5} + 1))}{3} - 5$

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{5 \cdot (3 (\frac{x}{5} + 1))}{3} - 5$

Étape 5.2.3.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{15 (\frac{x}{5} + 1)}{3} - 5$

Étape 5.2.3.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{15 (\frac{x}{5} + \frac{5}{5})}{3} - 5$

Étape 5.2.3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{15 (\frac{x + 5}{5})}{3} - 5$

Étape 5.2.3.2

Associez $15$ et $\frac{x + 5}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{\frac{15 (x + 5)}{5}}{3} - 5$

Étape 5.2.3.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1

Réduisez l’expression $\frac{15 (x + 5)}{5}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $15 (x + 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{\frac{5 (3 (x + 5))}{5}}{3} - 5$

Étape 5.2.3.3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{\frac{5 (3 (x + 5))}{5 (1)}}{3} - 5$

Étape 5.2.3.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{\frac{5 (3 (x + 5))}{5 \cdot 1}}{3} - 5$

Étape 5.2.3.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{\frac{3 (x + 5)}{1}}{3} - 5$

Étape 5.2.3.3.2

Divisez $3 (x + 5)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{3 (x + 5)}{3} - 5$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = \frac{3 (x + 5)}{3} - 5$

Étape 5.2.3.4.2

Divisez $x + 5$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = x + 5 - 5$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 5 - 5$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x}{3} - 5)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{5 x}{3} - 5) + 3$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} + \frac{3}{5} \cdot - 5 + 3$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} + \frac{3}{5} \cdot - 5 + 3$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = \frac{1}{5} \cdot (5 x) + \frac{3}{5} \cdot - 5 + 3$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x)) + \frac{3}{5} \cdot - 5 + 3$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = \frac{1}{5} \cdot (5 x) + \frac{3}{5} \cdot - 5 + 3$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = x + \frac{3}{5} \cdot - 5 + 3$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = x + \frac{3}{5} \cdot (5 (- 1)) + 3$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = x + \frac{3}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 3$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = x + 3 \cdot - 1 + 3$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = x - 3 + 3$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 3 + 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 5) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 5$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3}{5} x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 5$