Trigonométrie Exemples

$f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$ comme une équation.

$y = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{7}{5} y + \frac{5}{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{7}{5} y + \frac{5}{3} = x$ .

$- \frac{7}{5} y + \frac{5}{3} = x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $y$ et $\frac{7}{5}$ .

$- \frac{y \cdot 7}{5} + \frac{5}{3} = x$

Étape 3.2.2

Déplacez $7$ à gauche de $y$ .

$- \frac{7 y}{5} + \frac{5}{3} = x$

Étape 3.3

Soustrayez $\frac{5}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{7 y}{5} = x - \frac{5}{3}$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{5}{7}$ .

$- \frac{5}{7} (- \frac{7 y}{5}) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $- \frac{5}{7} (- \frac{7 y}{5})$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{7}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5}{7} (- \frac{7 y}{5}) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7 y}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5}{7} \cdot \frac{- 7 y}{5} = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5.1.1.1.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 (- 1)}{7} \cdot \frac{- 7 y}{5} = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot - 1}{7} \cdot \frac{- 7 y}{5} = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{7} (- 7 y) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7 y$ .

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{7} (7 (- y)) = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - y = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.5.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $- \frac{5}{7} (x - \frac{5}{3})$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} (- \frac{5}{3})$

Étape 3.5.2.1.2

Associez $x$ et $\frac{5}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} (- \frac{5}{3})$

Étape 3.5.2.1.3

Multipliez $- \frac{5}{7} (- \frac{5}{3})$ .

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Étape 3.5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + 1 (\frac{5}{7}) \frac{5}{3}$

Étape 3.5.2.1.3.2

Multipliez $\frac{5}{7}$ par $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{3}$

Étape 3.5.2.1.3.3

Multipliez $\frac{5}{7}$ par $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 3}$

Étape 3.5.2.1.3.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{25}{7 \cdot 3}$

Étape 3.5.2.1.3.5

Multipliez $7$ par $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 3.5.2.1.4

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Associez $x$ et $\frac{7}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{x \cdot 7}{5} + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 \cdot x}{5} + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.1.3

Pour écrire $- \frac{7 x}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.1.4

Pour écrire $\frac{5}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{5})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.3.1.5.1

Multipliez $\frac{7 x}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{5})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.1.5.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{15} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{5})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.1.5.3

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{15} + \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.1.5.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (- \frac{7 x \cdot 3}{15} + \frac{5 \cdot 5}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (\frac{- 7 x \cdot 3 + 5 \cdot 5}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.7.1

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (\frac{- 21 x + 5 \cdot 5}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.1.7.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{5 (\frac{- 21 x + 25}{15})}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.2

Associez $5$ et $\frac{- 21 x + 25}{15}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{5 (- 21 x + 25)}{15}}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.3

Réduisez l’expression $\frac{5 (- 21 x + 25)}{15}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{5 (- 21 x + 25)}{5 \cdot 3}}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{5 (- 21 x + 25)}{5 \cdot 3}}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{\frac{- 21 x + 25}{3}}{7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - (\frac{- 21 x + 25}{3} \cdot \frac{1}{7}) + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $\frac{- 21 x + 25}{3} \cdot \frac{1}{7}$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Multipliez $\frac{- 21 x + 25}{3}$ par $\frac{1}{7}$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{- 21 x + 25}{3 \cdot 7} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.3.5.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = - \frac{- 21 x + 25}{21} + \frac{25}{21}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{- (- 21 x + 25) + 25}{21}$

Étape 5.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{- (- 21 x) - 1 \cdot 25 + 25}{21}$

Étape 5.2.5.2

Multipliez $- 21$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x - 1 \cdot 25 + 25}{21}$

Étape 5.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x - 25 + 25}{21}$

Étape 5.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.6.1

Associez les termes opposés dans $21 x - 25 + 25$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Additionnez $- 25$ et $25$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x + 0}{21}$

Étape 5.2.6.1.2

Additionnez $21 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x}{21}$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun de $21$ .

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Étape 5.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = \frac{21 x}{21}$

Étape 5.2.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = - \frac{7}{5} \cdot (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = - \frac{7}{5} \cdot (- \frac{5 x}{7}) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{5}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 7}{5} \cdot (- \frac{5 x}{7}) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 x}{7}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 7}{5} \cdot \frac{- 5 x}{7} - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{7 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{7} - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{7 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{7} - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = - 1 (- x) - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = 1 x - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x - \frac{7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{5}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 7}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.6.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{7 (- 1)}{5} \cdot \frac{25}{21} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.6.3

Factorisez $7$ à partir de $21$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{7 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{25}{7 \cdot 3} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.6.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{7 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{25}{7 \cdot 3} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.6.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{25}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 (5)}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 5}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x - 1 (\frac{5}{3}) + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.3.8

Réécrivez $- 1 (\frac{5}{3})$ comme $- (\frac{5}{3})$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x - \frac{5}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - \frac{5}{3} + \frac{5}{3}$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- \frac{5}{3}$ et $\frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{7}{5} x + \frac{5}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{7} + \frac{25}{21}$