Trigonométrie Exemples

$f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ comme une équation.

$y = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \sqrt{49 - y^{2}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ .

$- \sqrt{49 - y^{2}} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ par $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{49 - y^{2}}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sqrt{49 - y^{2}}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Étape 3.2.2.1.2

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.2.1

Divisez $\sqrt{49 - y^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{49 - y^{2}} = \frac{x}{- 1}$

Étape 3.2.2.1.2.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\sqrt{7^{2} - y^{2}} = \frac{x}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 7$ et $b = y$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = \frac{x}{- 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = - 1 \cdot x$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = - x$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{(7 + y) (7 - y)}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(7 + y) (7 - y)}$ comme ${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((7 + y) (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Développez $(7 + y) (7 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(7 (7 - y) + y (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(7 \cdot 7 + 7 (- y) + y (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(7 \cdot 7 + 7 (- y) + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.3.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

${(49 + 7 (- y) + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

${(49 - 7 y + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.1.3

Déplacez $7$ à gauche de $y$ .

${(49 - 7 y + 7 \cdot y + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(49 - 7 y + 7 y - y \cdot y)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

${(49 - 7 y + 7 y - (y \cdot y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

${(49 - 7 y + 7 y - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Additionnez $- 7 y$ et $7 y$ .

${(49 + 0 - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.3

Additionnez $49$ et $0$ .

${(49 - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.4

Simplifiez

$49 - y^{2} = {(- x)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(- x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$49 - y^{2} = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Étape 3.4.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$49 - y^{2} = 1 x^{2}$

Étape 3.4.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$49 - y^{2} = x^{2}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Soustrayez $49$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = x^{2} - 49$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = x^{2} - 49$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = x^{2} - 49$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Divisez $- 49$ par $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 49$

Étape 3.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 49}$

Étape 3.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- x^{2} + 49}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 7^{2}}$

Étape 3.5.4.1.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{7^{2} - x^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 7$ et $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Étape 3.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Étape 3.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Étape 3.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ est l’inverse de $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 7, 0]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Étape 5.3.2.2

Définissez $7 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Définissez $7 + x$ égal à $0$ .

$7 + x = 0$

Étape 5.3.2.2.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 5.3.2.3

Définissez $7 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.1

Définissez $7 - x$ égal à $0$ .

$7 - x = 0$

Étape 5.3.2.3.2

Résolvez $7 - x = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 7$

Étape 5.3.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 7$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 7$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 7$ par $- 1$ .

$x = 7$

Étape 5.3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 7, 7$

Étape 5.3.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Étape 5.3.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 5.3.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.1.3

Le côté gauche $- 51$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.3.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.3.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.2.3

Le côté gauche $49$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 5.3.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.3.3

Le côté gauche $- 51$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.3.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 7$ Faux

$- 7 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < - 7$ Faux

$- 7 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 5.3.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 7 \leq x \leq 7$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 7, 7]$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ n’est pas un inverse de $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6