Trigonométrie Exemples

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ comme une équation.

$y = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{4 y^{2} + 3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$ .

$\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 y^{2} + 3}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 y^{2} + 3}$ comme ${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 y^{2} + 3)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$4 y^{2} + 3 = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} = x^{2} - 3$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = x^{2} - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = x^{2} - 3$ par $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$ .

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Étape 3.4.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 3}{4}}$

Étape 3.4.4.2

Réécrivez $\frac{x^{2} - 3}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)$ .

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Étape 3.4.4.2.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x^{2} - 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{4}}$

Étape 3.4.4.2.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.4.4.2.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)}$

Étape 3.4.4.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 3}$

Étape 3.4.4.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{x^{2} - 3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Étape 3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Étape 3.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Étape 3.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[\sqrt{3}, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 3$

Étape 5.3.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Étape 5.3.2.4

Écrivez $| x | \geq \sqrt{3}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 5.3.2.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 5.3.2.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq \sqrt{3}$

Étape 5.3.2.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 5.3.2.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{3}$

Étape 5.3.2.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Étape 5.3.2.5

Déterminez l’intersection de $x \geq \sqrt{3}$ et $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Étape 5.3.2.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq \sqrt{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq \sqrt{3}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 5.3.2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 5.3.2.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 5.3.2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.6.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Étape 5.3.2.6.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$x \leq - \sqrt{3}$

Étape 5.3.2.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - \sqrt{3}$ ou $x \geq \sqrt{3}$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6